Cómo obtener una contables densa subconjunto distinto, desde el cierre de una secuencia de

Question

Me he encontrado con algunas dificultades al leer el artículo, Hereditaria normalidad versus contables opresión en countably espacios compactos, de Nyikos (1992). En particular, en un pasaje de la Reducción del Teorema de donde el autor hace la afirmación de que, dado un separables, countably compacto, $T_5$ espacio topológico $X$ con un incontable libre de la secuencia, podemos tomar $W = \{x_{\alpha} : \alpha < \omega_{1}\}$ libre de secuencia en $X$ $D \subset X$ contables denso tal que $D \cap \overline{W} = \emptyset$.

Si yo pudiera comprobar que todos los $d \in D$ es tal que no existe un ordinal $\beta < \omega_{1}$ tal que $d \in \overline{\{x_{\alpha} : \alpha < \beta\}}$ entonces podríamos construir un nuevo libre de la secuencia de desplazando el punto de partida de la antigua.

El punto es que el caso anterior no es necesariamente cierto. Aparte de que yo no puedo ver cómo el contable densa interactúa con la inicial gratis de la secuencia de una manera que ayuda el problema.

Answer 1

Deje $W_∞ = ⋂_{β < ω_1} \overline{\{x_α: α ≥ β\}}$. Como usted ha notado, el conjunto $D ∩ W_∞$ es el problema. El punto es que $W_∞$ es cerrado y discontinuo con $W$, lo $D ∩ W_∞ ⊆ \overline{W} ⊆ \overline{D \setminus W_∞}$, por lo que podemos poner de $D' = D \setminus W_∞$. Ahora $D' ∩ \overline{W} = D ∩ ⋃_{β < ω_1} \overline{\{x_α: α < β\}} ⊆ \overline{\{x_α: α < γ\}}$ algunos $γ < ω_1$. Por lo tanto, es suficiente para poner a $W' = \{x_{γ + α}: α < ω_1\}$.