¿Cuál es la probabilidad de que dos puntos a mentir en el mismo lado de la línea que une otros dos puntos?

Question

Mientras trataba de responder a esta pregunta me di cuenta de que la probabilidad de que dos puntos a mentir en el mismo lado de la línea que une otros dos puntos está directamente relacionado con la probabilidad de cuatro puntos para formar un cuadrilátero convexo. Dado que los resultados son conocidos por el último para varias distribuciones, pero no pude encontrar ningún resultado para la primera, pensé que podría ser útil para grabar la conexión y la transferencia de los resultados conocidos para una fácil referencia en la forma de una respuesta aquí.

Así que veamos algunos de distribución en el plano de ser dado, por ejemplo, una distribución uniforme sobre una región. Si conocemos la probabilidad de que cuatro puntos forman un cuadrilátero convexo, ¿cómo podemos obtener la probabilidad de que dos puntos se encuentran en el mismo lado de la línea que une otros dos puntos (donde todos los puntos son obtenidas independientemente de la distribución dada)?

(Tenga en cuenta que estoy pidiendo dos puntos particulares de la mentira en el mismo lado de la línea que une dos puntos en particular, no a la de dos de las cuatro que se acueste sobre el mismo lado de la línea de unirse a los otros dos.)

Answer 1

Dado cuatro puntos, el número de líneas de unirse a los pares de puntos que tienen los otros dos puntos en el mismo lado es el número de aristas de la parte convexa del casco de los cuatro puntos. Esto es $4$ si los puntos que forman un cuadrilátero convexo y $3$ lo contrario. Por lo tanto, si la probabilidad de que los puntos para formar un cuadrilátero convexo es $p$, se espera que el número de líneas que tienen los otros dos puntos en el mismo lado es $p\cdot4+(1-p)\cdot3=3+p$. Desde las seis líneas tienen la misma probabilidad de $q$ de tener los otros dos puntos en el mismo lado, esto es $6$ veces que la probabilidad, que es, por tanto,$(3+p)/6=\frac12+\frac p6$.

Los resultados de $p$ para distribuciones uniformes a través de varias regiones dado en MathWorld por lo tanto traducir a los siguientes resultados para $q$ (con "el pentágono" y "hexágono", refiriéndose a los polígonos regulares):

$$ \begin{array}{c|rl|rl} \text{shape}&p&&q&\\\hline \text{triangle}&\frac23&\approx0.66667&\frac{11}{18}&\approx0.61111\\\hline \text{parallelogram}&\frac{25}{36}&\approx0.69444&\frac{133}{216}&\approx0.61574\\\hline \text{pentagon}&\frac2{45}(18-\sqrt5)&\approx0.70062&\frac1{270}(171-2\sqrt5)&\approx0.61677\\\hline \text{hexagon}&\frac{683}{972}&\approx0.70267&\frac{3599}{5832}&\approx0.61711\\\hline \text{ellipse}&1-\frac{35}{12\pi^2}&\approx0.70448&\frac23-\frac{35}{72\pi^2}&\approx0.61741 \end{array} $$

Aquí está el código para comprobar los resultados del paralelogramo y la elipse numéricamente.

Puesto que el valor de $p$ para una distribución uniforme a través de cualquier abierto convexo de la región con un área finita se encuentran entre los valores de un triángulo y una elipse, el valor de $q$ es igualmente limitada. La longitud del intervalo de $p$ se divide por $6$, lo $q$ se encuentran en un rango estrecho

$$0.61111\lt q\lt0.61742\;.$$