Grupo que actúa sobre su conjunto de subgrupos por conjugación.

Question

Estoy bastante seguro de que por primera $H$, el Estabilizador es todo de $S_4$ debido a la normalidad de $V_4$, y así la Órbita es sólo $V_4$.

Para el segundo $H$, tengo que el Estabilizador es $H$ $4$ tiene que ser invariantes a la izquierda. Por Orbit-Estabilizador teorema, la Órbita debe ser un conjunto de 4 subgrupos, que entendí que era el 4 diferentes grupos simétricos de 3 elementos dentro de $S_4$.

Sin embargo $H = \langle(1234)\rangle$ me está dando un dolor de cabeza. Me parece que no puede obtener el Estabilizador tan fácilmente esta vez, como no aparece nada de trabajo, además de la identidad.

Answer 1

Clases Conjugacy en el grupo simétrico corresponden al ciclo de los tipos. Así, por $H = \langle (1234)\rangle$, la clase conjugacy de $(1234)$ es sólo $\{(1234),(1243),(1324),(1342),(1423),(1432)\}$. Vemos que los ciclos de $(1234),(1432)$ generar el mismo grupo. Del mismo modo, los ciclos de $(1243),(1342)$, y también los ciclos de $(1324),(1423)$.

Por lo tanto, en la órbita de las $H = \langle (1234)\rangle$ son los tres grupos de $H, \langle (1243)\rangle,\langle (1324)\rangle$.

Por orbit-estabilizador, el estabilizador $S$ es, pues, un subgrupo de índice de 3, por lo tanto la orden de 8. Claramente $S$ contiene $H$, por lo que para describir a $S$, es suficiente para encontrar un elemento de $S$ no $H$.

Tenga en cuenta que cada elemento de a $H$ viajes con sí mismo. Por otro lado, sabemos que $(1234)$ $(1432)$ son conjugadas, por lo que debe ser conjugado con un elemento de $S_4$ no $H$. La búsqueda de este conjugación elemento llega a darse cuenta de que dados dos permutaciones $\sigma,\tau$ si $\tau(a) = b$,$(\sigma\tau\sigma^{-1})(\sigma(a)) = \sigma(b)$. Por lo tanto, el ciclo de la notación de $\sigma\tau\sigma^{-1}$ es precisamente la $\sigma$ que se aplica al ciclo de la notación de $\tau$. A partir de esto podemos ver que la transposición $(24)$ tiene la propiedad de que $(24)(1234)(42) = (1432)$. Por lo tanto, el estabilizador $S$ es el grupo generado por $(1234)$$(24)$.