¿Qué significa "doble" significa exactamente en matemáticas?

Question

Yo no soy un experto en matemáticas, pero sé un poco de cálculo y teoremas. He oído cosas como "this result is "dual"", o este "theorem is "dual"". A menudo la gente dice "dual comes for free". Como el intercambio de variables o algo y obtener otro resultado.

Nunca he entendido esto. ¿Alguien puede explicar lo de "doble" significa exactamente? Ejemplos sería bueno también.

Gracias!

Answer 1

Una dualidad es un par de conceptos relacionados que muestran un uno-a-uno simetría de traslación, por lo general (no siempre) como el resultado de alguna forma de la involución del operador.

En la lógica clásica, la de los operadores, $\vee$ $\wedge$ formar una doble, y la negación es su involución del operador. Esto se expresa a través de las Leyes de deMorgan:$$\neg(A\vee B) = \neg A\wedge \neg B\\\neg(A\wedge B)=\neg A\vee \neg B$$

Del mismo modo, en el conjunto de álgebra, de la $\cup$ $\cap$ operadores de formar una doble, con la complementación de ser la involución. $$(A\cup B)^\complement = A^\complement\cap B^\complement\\ (A\cap B)^\complement=A^\complement\cup B^\complement$$

En la lī ogica, los cuantificadores, $\forall$ $\exists$ es una doble, otra vez con la negación de ser la transformación. $$\neg \forall x\;P(x) \iff \exists x\;\neg P(x)\\\neg \exists x\;P(x) \iff \forall x\;\neg P(x)$$

Y tal.

Answer 2

Ampliamente, dos matemáticos set-ups son dual cuando pueden ser transformados en cada uno de los otros por un simple intercambio de símbolos y la terminología. Por ejemplo, un general topológica del espacio puede ser definido en términos de sus bloques abiertos, o doblemente en términos de conjuntos cerrados: correspondiente a infinito sindicatos y finito intersecciones de abrir sets, en la primera formulación, son, respectivamente, finito sindicatos y el infinito de las intersecciones en el segundo. Otro ejemplo es el plano de la geometría proyectiva: un teorema acerca de las líneas a través de los puntos, y los puntos donde las líneas se cruzan, puede ser transformada en una clara doble teorema, respectivamente, acerca de los puntos donde las líneas se cruzan y líneas a través de los puntos. El doble de un número finito-dimensional espacio vectorial es el espacio de funcionales lineales sobre ella; y el doble de este último espacio es isomorfo al espacio original a través de una canónica de la asignación.

Por desgracia, la palabra dual no se limita a simples de los casos en que, si B es el doble de a, entonces a es el doble de B. Por ejemplo, en el caso de dimensiones infinitas espacios vectoriales, el dual de un espacio (definido como más arriba) puede ser mucho "más grande" que el original, y su doble en vez es más grande todavía. Sin embargo, cuando la palabra se utiliza, por lo general hay un vínculo claro con la simple idea de la dualidad.