¿Cuál es el grupo de automorfismo de este recubrimiento?
Sé por qué es un recubrimiento, pero no sé cómo encontrar el grupo de automorfismo de este recubrimiento.
Necesito ayuda, gracias
Respuesta
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Dos automorfismos de una cobertura conectada a un camino coinciden si coinciden en un punto. 6 puntos se encuentran sobre el nodo, por lo que el grupo de automorfismo puede identificarse como un subgrupo del grupo de permutación sobre un conjunto de 6 puntos. Llamamos a los seis puntos $\lbrace i_1,i_2,i_3,o_1,o_2,o_3\rbrace$ Los nodos etiquetados como $i$ son los del círculo interior y uno etiquetado como $o$ se encuentran en el círculo exterior. La elevación de $b$ produce la permutación $(i_1i_2i_3)(o_1o_2o_3)$ mientras que la elevación de $a$ da la permutación $(i_1o_1)(i_2o_2)(i_3o_3)$ Así que parece que el grupo $G$ del recubrimiento es isomorfo al subgrupo de $S_6$ generado por estas dos permutaciones. Se conmutan, por lo que deberíamos tener $G\simeq\Bbb Z/6\Bbb Z$ .
