Dado un espacio topológico conectado de ruta fija$X$, ¿"$Y$ es homotopy equivalente con$X$" siempre estrictamente más débil que "$Y \approx X$"?

Question

$\simeq$ indican homotopy de equivalencia, y $\approx$ indican homeomorphism.

Dado que muchos de los espacios, es fácil demostrar esta propiedad, por ejemplo, con el hecho de que $X \times I \simeq X$ donde $I$ denota la unidad de intervalo de $[0,1]$. Pero no es tan claro (de hecho no estoy seguro de que sea cierto) que homotopy equivalencia con un espacio dado es estrictamente más débil que homeomorphism. Por ejemplo, $I^{\mathbb{Z}}$ tomado como un producto homeomórficos a $I^{\mathbb{Z}} \times I$, así que el método que me dio no trabajar en general. Por supuesto, $I^{\mathbb{Z}}$ es también homotopy equivalente a un punto, así que esto está lejos de ser un contraejemplo.

Cualquier tipo de prueba, prueba de croquis, o la referencia que se agradece. Gracias.

Answer 1

Para cualquier conjunto$Y$,$X \times I^Y \simeq X$, es casi la misma prueba que$X \times I \simeq X$. Pero si$Y$ es lo suficientemente grande, digamos una cardinalidad estrictamente mayor que$X$, entonces$I^Y$ y entonces$X \times I^Y$ también tienen una cardinalidad estrictamente mayor que$X$, entonces no podemos tener$X \times I^Y \approx X$, ya que cualquier homeomorfismo es en particular una bijección.