¿Hay un número primo$> 10$ tal que cuando se divide por 3 o 5 o 7 siempre da un resto de 1?

Question

¿Hay un número primo$p > 10$ tal que cuando se divide por 3 o 5 o 7 da un resto de 1, es decir:

$p \equiv 1 \pmod{3}, p \equiv 1 \pmod{5}, p \equiv 1 \pmod{7}$.

Answer 1

Por el teorema del resto chino, el sistema de congruencias lineales:

$$x \equiv 1 (mod \ 3)$ $$$x \equiv 1 (mod \ 5)$ $$$x \equiv 1 (mod \ 7)$ $

produce la solución$x \equiv 1 (mod \ 105)$, ya que 3, 5 y 7 son coprime por pares y su producto es 105.

Ya que estamos buscando enteros positivos, consideramos$x = 1, 106, 211,...$ y no necesitamos buscar más, ya que 211 es primo.