prueba de que$PSL(2,\mathbb{R})$ es$SO^+(2,1)$

Question

Lo siento si esto es demasiado elemental para este foro:

Tenemos dos modelos de 2 dimensiones espacio hiperbólico:

La parte superior de la hoja de un hyperboloid en $\mathbb{R}^3$ con la métrica inducida por la métrica de Minkowski en $R^3$. Definir $O^+(2,1)$ a ser el subgrupo de $GL(3, \mathbb{R})$ que preserva la métrica de Minkowski y se lleva a la parte superior de la hoja de la hyperboloid a sí mismo. A continuación, $O^+(2, 1)$ hechos por isometrías en este modelo. $SO^+(2,1)$ es entonces la intersección de a$O^+(2, 1)$$SL(3, \mathbb{R})$.

Un segundo modelo es la mitad superior del plano. A continuación, $SL(2,\mathbb{R})$ hechos por isometrías en este modelo, cuando cada elemento de a $SL(2,\mathbb{R})$ es visto como una transformación de Möbius. $PSL(2,\mathbb{R})$ $SL(2,\mathbb{R})/\langle \pm I \rangle$ (es decir, $SL(2,\mathbb{R})$ mod de los dos elemento subgrupo compuesto de la identidad, y menos la identidad).

¿Cómo puedo probar que estos dos grupos son isomorfos como grupos? Mentira grupos?

Answer 1

$\mathrm{SL}_2(\mathbb{R})$ actúa en su Mentira álgebra $\mathfrak{sl}_2$ por conjugación, lo que produce una inyectiva de morfismos $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{R}) \rightarrow \mathrm{Aut}(\mathfrak{sl}_2)$. Por otra parte, los elementos en la imagen de este morfismos preservar la Matanza, que es un no-degenerada forma cuadrática, y no es anisotrópico (no estoy seguro de si "isótropo" es la buena palabra aquí), y lo que es de la firma (2,1) o (1,2), y ambos tipos de rendimiento de los mismos grupos de isometrías.

Así que tenemos un inyectiva (y, obviamente, suave) de morfismos $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{R}) \rightarrow \mathrm{O}(2,1)$, y desde $\mathrm{SL}_2(\mathbb{R})$ está conectado, este morfismos en realidad va a la componente de la identidad en $\mathrm{O}(2,1)$$\mathrm{SO}^+(2,1)$. Por la inyectividad y la comparación de las dimensiones, es un diffeomorphism.