Independencia lineal de las funciones: $x_1(t) = 3$ , $x_2(t)=3\sin^2t$ , $x_3(t)=4\cos^2t$

Question

Quiero determinar si 3 funciones son linealmente independientes:

\begin{align*} x_1(t) & = 3 \\ x_2(t) & = 3\sin^2(t) \\ x_3(t) & = 4\cos^2(t) \end{align*}

Definición de independencia lineal: $c_1x_1 + c_2x_2 + c_3x_3 = 0 \implies c_1=c_2=c_3=0$ (sólo la solución trivial)

Así que tenemos: \begin{align} 3c_1 + 3c_2\sin^2(t) + 4c_3\cos^2(t) = 0 \end{align}

Mi primera idea es diferenciar ambos lados y conseguir:

$6c_2\sin(t)\cos(t) - 8c_3\cos(t)\sin(t) = 0$

Entonces, podemos factorizar para conseguir:

$\sin(t)\cos(t)(6c_2 - 8c_3) = 0$

Así que $c_3= \dfrac{6}{8}c_2$ da la ecuación es igual a cero. Por lo tanto, todos $c$ no son $0$ y por lo tanto $x_1, x_2, x_3$ son linealmente dependientes.

¿Es esto correcto? ¿O hay una forma más limpia de hacerlo?

Answer 1

Sí, efectivamente, su respuesta está bien. Y habría sido especialmente fino determinar la (in)dependencia lineal de un sistema de ecuaciones que no admite fácilmente otra observación sobre la relación entre $\cos^2 t$ y $\sin^2 t$ $(\dagger)$ . De hecho, está a un paso de trabajar con el Wronskian que es una herramienta útil para demostrar la independencia lineal.

$(\dagger)$ Ahora, a la observación señalada anteriormente: También podría haber utilizado el hecho de que $$x_1(t) - \left[(x_2(t) +\frac 34 x_3(t)\right] = 3 - (3 \sin^2 t + 3\cos^2 t)= 3 - 3\left(\underbrace{\sin^2(t) + \cos^2(t)}_{\large = 1}\right)=0$$

y te has ahorrado un poco de trabajo: puedes leer los coeficientes no nulos $c_i$ para demostrar su existencia: $c_1 = 1, c_2 = -1, c_3 = -\frac 34$ o simplemente puede expresar $x_1$ como una combinación lineal de $x_2, x_3$ para concluir la dependencia lineal de los vectores. (¡Pero no cuentes con que cualquier conjunto aleatorio de vectores resulte tan bien!)

Answer 2

Es mucho más fácil utilizar la identidad conocida $\sin^2{t}+\cos^2{t}=1$ . Tenemos $x_1(t)-x_2(t)-\frac{3}{4}x_3(t)=3-3\cos^2{t}-3\sin^2{t}=0$ por lo que las funciones son linealmente dependientes.

Answer 3

Esta es una pregunta bastante sencilla, en primer lugar, déjame recordarte la definición de funciones linealmente dependientes. Dice,

Un conjunto de funciones $\mathrm{f_1(x), f_2(x), ... , f_n(x)}$ se llaman linealmente dependientes si

$\mathrm{c_1f_1(x)+ c_2f_2(x)+ ... + c_n f_n(x) = 0, where \ c_1, c_2, ... , c_n \ are \ arbitrary \ constants}$ se cumple para al menos dos c's no nulas.

Pasando a la pregunta, entonces

$\mathrm{f_1(x) = 3, \ f_2(x) = 3sin^2x, \ f_3(x) = 4cos^2x}$

Considere $\mathrm{c_1, c_2, c_3}$ como constantes arbitrarias,

$\mathrm{3c_1 + 3c_2sin^2x + 4c_3cos^2x}$

Fácilmente, si $\mathrm{c_1 = \frac{-1}{3}, \ c_2 = \frac{1}{3}, \ c_3 = \frac{1}{4}}$ entonces

$\mathrm{3c_1 + 3c_2sin^2x + 4c_3cos^2x}$ = $0$

Como todas las constantes arbitrarias son distintas de cero, las funciones son definitivamente LD.

Answer 4

Esta respuesta se resuelve el problema a partir de cero. La cuestión principal en la respuesta a esto es: cuando el sistema tiene una solución única? La respuesta es: cuando el Determinante de la matriz de coeficientes no es igual a cero.

Un problema relacionado. Aquí es un enfoque. Podemos diferenciar la ecuación de $$ c_1 x_1(t) + c_2 x_2(t) + c_3 x_3(t) = 0 $$ dos veces para obtener el sistema

$$ c_1 x_1(t) + c_2 x_2(t) + c_3 x_3(t) = 0 $$ $$ c_1x'_1(t) + c_2 x'_2(t) + c_3 x'_3(t) =0 $$ $$ c_1x''_1(t) + c_2 x''_2(t) + c_3 x''_3(t) =0 $$

El anterior sistema de ecuaciones tiene una solución $c_1=c_2=c_3=0$ si el determinante $D\neq 0$ o en otras palabras, la matriz de coeficientes a es invertible. Tenga en cuenta que, va a resolver $c_1,c_2,c_3$ Ahora, sólo el trabajo de los detalles.