¿Qué podemos decir sobre$\sum x_n$ si$\lim n x_n =0$?

Question

He demostrado que si $(x_n)$ es una disminución de la secuencia de la no-negativos números reales tales que a $\sum x_n$ converge, entonces $\lim nx_n=0$.

Le pregunto por la otra dirección. Si $(x_n)$ es cualquier secuencia de números reales tales que a $\lim nx_n=0$ es cierto que $\sum x_n$ converge? Lo que si $(x_n)$ es también una disminución de la secuencia de la no-negativos los números reales?

A mí me parece que la respuesta a ambas preguntas es no! Así que he buscado ejemplos de lo contrario. Por desgracia, no pude encontrar ninguna. Ninguno de los dos podría yo demostrar estas afirmaciones. Alguien me puede ayudar? Gracias!

Answer 1

No a ambos:$x_n = \frac{1}{n \log n}$ es un contraejemplo de ambos. (Para evitar el hecho de que$x_1$ no esté definido, puede definir una definición por caso para establecer, por ejemplo,$x_1 = 10$ y$x_n = \frac{1}{n \log n}$ de lo contrario).