Haciendo algunos problemas de práctica extra y estoy teniendo dificultades con este concepto. Gracias.
Respuesta
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Lo principal de la secuencia de Fibonnacci es esa relación de recurrencia, así que vamos a analizarla:
Si
$$f(x)=\sum_{n=0}^\infty F_nx^n$$
con $F_n$ el enésimo número de Fibonnacci, entonces como $F_{n+2}=F_{n}+F_{n+1}$ si multiplicamos la serie por $x$ y $x^2$ nos encontramos con que:
$$x^2f(x)=\sum_{n=0}^\infty F_{n}x^{n+2}=\sum_{n=2}^\infty F_{n-2}x^n$$ $$xf(x)=\sum_{n=0}^\infty F_{n}x^{n+1}=\sum_{n=1}^\infty F_{n-1}x^n=\sum_{n=2}^\infty F_{n-1}x^n$$
la última igualdad desde $F_0=0$ .
Sumando estos resultados se obtiene:
$$xf(x)+x^2f(x)=\sum_{n=2}^\infty (F_{n-2}+F_{n-1})x^n=f(x)-x\tag{$ * $}$$
de nuevo estamos usando eso $F_0=0$ .
Por lo tanto, al igualar el extremo izquierdo de $(*)$ con el extremo derecho, obtenemos
$$f(x)(x^2+x-1)=-x$$ y así
$$f(x)={x\over 1-x-x^2}$$
Un comentario sobre la idea: observe que el polinomio en el denominador es $1-x-x^2$ Se supone que esto refleja la relación de recurrencia. Piensa en ello como $1-(x+x^2)$ para indicar que un término es la suma del término anterior y el término dos anterior, el $x$ Las potencias actúan como índices, de modo que al multiplicar por la potencia se reduce el índice después de pasar a $x^n$ . El $x$ en el numerador es sólo para indicar que el primer término es $0$ cualquier multiplicación de una serie de potencias por una potencia, $x^k$ , simplemente desplaza toda la secuencia para que comience con $k$ ceros y luego procede según la secuencia original.
