¿En qué campos específicos es$\pi$ relevante en matemáticas y cómo es importante su precisión?
¿Hay algún campo en el que su precisión lleve a algunos resultados a pesar de otros?
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La Búsqueda de la Pi. David H. Bailey, Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein y Simon Plouffe, Mathematical Intelligencer, vol. 19, no. 1 (Jan. 1997), pg. 50 a 57
En una de las cuentas más tempranas (alrededor de 2000 AC) de π, los Babilonios se utiliza la aproximación $3 \ 1/8 = 3.125$. En este mismo tiempo, o antes, de acuerdo a una cuenta en un antiguo Egipcio documento, los Egipcios fueron asumiendo que un círculo con un diámetro de nueve tiene la misma área de un cuadrado de lado a ocho, lo que implica $π = 256/81 = 3.1604\ldots$ En el 1700, el matemático Euler, sin duda el más prolífico matemático en la historia, descubrió una serie de nuevas fórmulas para π. Entre estos están $$ \dfrac{\pi^2}{6} = \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^2}, \quad \dfrac{\pi^4}{90} = \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^4} $$ Estas fórmulas no son muy eficientes para el cómputo de π, pero tienen importantes teóricos implicaciones y han sido el trampolín para notables preguntas de investigación, tales como la Riemann zeta función de la hipótesis, que siguen siendo investigados para este día. Una de las motivaciones para los cálculos de π durante este tiempo fue a ver si la expansión decimal de π se repite, por tanto, la divulgación que π es el cociente de dos números enteros (aunque casi nadie en los tiempos modernos en serio creía que era racional). Esta pregunta fue concluyente se establecieron en la década de 1700, cuando Lambert y Legendre demostrado que π es irracional. Algunos aún se preguntaba si π podría ser la causa de alguna ecuación algebraica con coeficientes enteros (aunque, como antes, en realidad, pocos creían que era). Esta pregunta fue finalmente resuelto en 1882, cuando Lindemann demostró que π es trascendental...
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Asimov
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$\pi$ sí aparece en muchas de las ecuaciones de los círculos de las esferas, e incluso la identidad de Euler ($e^{i\pi}+1=0$), que ha sido coronada como la más bella de las ecuaciones matemáticas. Así que, sí, $\pi$ es muy importante.
Los dígitos? No como mucho. Algunas personas están en busca de un patrón o regularidad a los números, sino incluso de siglos de reflexionar sobre $\pi$, todavía tenemos a la conclusión de patrones a partir de ella. El aprendizaje más dígitos es tanto un ejercicio para ver si podemos encontrar un patrón, y sólo una competición para ver quién puede encontrar la mayoría. No es tan útil como otros campos de las matemáticas, pero todavía tiene misterios sin resolver para los futuros Matemáticos para resolver.
Si quieres más ejemplos de fórmulas con $\pi$, echa un vistazo a este enlace: Fórmulas con $\pi$
