A continuación se reproduce una derivación de la fórmula de Dobiński. ¿Por qué el límite superior de la primera suma cambia de$n$ a$\infty$? (Vea la parte de la caja roja.) 
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
mkoeller
Puntos
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El punto es que el interior de la suma es $0$ al $k>n$.
De hecho, el interior de la suma de $\sum_{j=0}^k (-1)^{k-j} {k\choose j} j^n$ es sólo $k!S(n,k)$ donde $S(n,k)$ es el número de Stirling del segundo tipo, que cuenta el número de maneras de particiones de un conjunto de $n$ elementos en $k$ no vacía de subconjuntos. Claramente, $S(n,k)=0$ al $k>n$.
También es importante para la indización es que $S(n,0)=0$ al $n>0$, de lo contrario no sería un problema en el segundo paso.
Probablemente sería más sencillo si simplemente escribimos, desde el inicio, $B(n) = \sum_{k=0}^\infty S(n,k)$, el cual es válido por $n\geq 0$.
