Deje $X$ ser un conjunto no vacío. Una colección de $\mathscr{B}$ de los subconjuntos de a $X$ es una base para algunos de topología en $X$ si cumple dos condiciones:
- $\mathscr{B}$ cubre $X$. Es decir, cada punto de $X$ pertenecen al menos a uno de los miembros de $\mathscr{B}$.
- Si $B_1,B_2\in\mathscr{B}$$x\in B_1\cap B_2$, entonces no es un $B_3\in\mathscr{B}$ tal que $x\in B_3\subseteq B_1\cap B_2$.
Estas dos condiciones son exactamente lo que se necesita para asegurarse de que
$$\mathscr{T}=\Big\{\bigcup\mathscr{A}:\mathscr{A}\subseteq\mathscr{B}\Big\}$$
es una topología en $X$. En palabras, la colección de todos los sindicatos de los miembros de $\mathscr{B}$ es una topología en $X$, la topología generada por la base.
Tenga en cuenta que una topología puede tener muchas bases diferentes. La topología $\big\{\varnothing,\{a\},\{b\},\{a,b\}\big\}$ en el conjunto de $\{a,b\}$ tiene las siguientes bases:
- $\big\{\varnothing,\{a\},\{b\},\{a,b\}\big\}$
- $\big\{\{a\},\{b\},\{a,b\}\big\}$
- $\big\{\varnothing,\{a\},\{b\}\big\}$
- $\big\{\{a\},\{b\}\big\}$
Las condiciones (1) y (2) son la forma más fácil de caracterizar a las familias de conjuntos que son las bases para algunos la topología en $X$. Si usted ya tiene una topología $\mathscr{T}$$X$, se puede decir simplemente que un subconjunto $\mathscr{B}$ $\mathscr{T}$ es una base para $\mathscr{T}$ si y sólo si todos los miembros de $\mathscr{T}$ (es decir, cada conjunto abierto en el espacio de $\langle X,\mathscr{T}\rangle$) es una unión de miembros de $\mathscr{B}$.
Sí, $\big\{\varnothing,\{a\},\{c\},X\big\}$ es una base para una topología en $X$: satisface las dos condiciones que se dan en el comienzo de esta respuesta. La topología que se genera es
$$\big\{\varnothing,\{a\},\{c\},\{a,c\},\{a,b,c\}\big\}\;.$$
