Probar el límite con rigor

Question

Encontrar el límite

$$\large \lim_{x\to \infty}(\ln x)^{\frac{20}x}$$

Entendí que a medida que x se acercaba al infinito, $20/x$ se acercó a 0. Esto significaría que el límite tendería a $1$ . Sin embargo, $\ln x$ también se acerca al infinito como $x$ se acerca al infinito. Por lo tanto, sospecho que la respuesta es $1$ (y de hecho es la respuesta), sin embargo me parece que esta respuesta no es lo suficientemente rigurosa. ¿Cómo podría demostrar rigurosamente $1$ como respuesta? Se agradecerá cualquier idea o sugerencia.

Nota: Soy estudiante de secundaria y mis profesores me dicen a menudo que tome estas respuestas con fe. Por lo tanto, es posible que no entienda las anotaciones extravagantes que se suelen utilizar para resolver el límite.

Gracias.

Answer 1

El argumento que utiliza carece del rigor necesario. Con el mismo argumento, usted concluiría que $\bigl(\mathrm e^x\bigr)^\tfrac1x\to 1$ Sin embargo $\bigl(\mathrm e^x\bigr)^\tfrac1x$ es el número de Euler $\mathrm e$ ¡!

Las siguientes soluciones están bien. Sin embargo, como estudiante de secundaria, es posible que desee una prueba rigurosa de que $\frac{\ln(\ln x)}{x}$ tiende a $0$ como $x$ tiende a $\infty$ . He aquí un esbozo de una prueba sencilla: $$\frac{\ln(\ln x)}{x}=\underbrace{\frac{\ln(\ln x)}{\ln x}}_{\begin{matrix}\downarrow\\0\\\text{(setting }u=\ln x)\end{matrix}}\!\!\underbrace{\frac{\ln x}{x}}_{\begin{matrix}\downarrow\\0\end{matrix}} $$

Editar : Una prueba de que $\lim_{x\to\infty}\dfrac{\ln x}x=0$ .

Para cualquier $t>1$ , $\:\sqrt t <t$ Así que $\dfrac 1t<\dfrac 1{\sqrt t}$ Por lo tanto $$\frac{\ln x}x=\frac1x\int_1^x \frac 1t\,\mathrm dt \le\frac1x\int_1^x \frac 1{\sqrt t}\,\mathrm dt=\frac1x(2\sqrt x-2)<2\frac1{\sqrt x},$$ y este último tiende a $0$ .

Answer 2

Basta con utilizar las desigualdades $1\le \log(x)\le x$ para $x\ge e$ . Como la función exponencial es creciente, vemos que

$$1\le \left( \log(x) \right)^{20/x}\le x^{20/x}$$

Aplicando el teorema de la compresión se obtiene el codiciado límite

$$\lim_{x\to\infty}\left( \log(x)\right)^{20/x} =1 $$

Answer 3

Podemos usar eso

$$\large (\ln x)^{\frac{20}x}= e^{\left[20\frac{\ln(\ln x)}{x}\right]}$$

y ya que por límites estándar

$$\frac{\ln x}x\to 0$$

también tenemos

$$\frac{\ln (\ln x)}x\le \frac{\ln x}x\to 0$$

Una forma estándar de demostrar los límites estándar es $y=e^x\to \infty$ entonces

$$\frac{\ln x}x=\frac{\ln (e^y)}{e^y}=\frac y{e^y}\to 0$$

en efecto, con el tiempo $e^y\ge y^2$ y luego

$$\frac y{e^y}\le \frac{y}{y^2}=\frac1y\to 0$$

Como alternativa, también podemos proceder de la siguiente manera

$$\large (\ln x)^{\frac{20}x}=\left[(\ln x)^{1/\ln x}\right]^{\frac{20\ln x}x}\to 1$$

En efecto,

• $(\ln x)^{1/\ln x}\to 1$
• $\frac{20\ln x}x\to 0$

y la primera puede demostrarse mediante

$$(\ln x)^{1/\ln x}=e^{\frac{\ln (\ln x)}{\ln x}}\to 1$$

ya que por $\ln x=y\to \infty$

$$\frac{\ln (\ln x)}{\ln x}=\frac{\ln y}{y}\to 0$$

Answer 4

Primero calcula el límite del logaritmo de la expresión. Efectivamente, $$ \frac{20}{x}\times \ln(\ln x)\to 0 $$ como $x\to \infty$ . Esto se puede ver intuitivamente ya que $x$ crece mucho más rápido que $\ln(\ln x)$ o puedes usar la regla de L'Hospital. En cualquier caso $$ \exp\left(\frac{20}{x}\times \ln(\ln x)\right)\to 1 $$ como $x\to \infty$