¿Qué sigue de Axiom of Dependent Choice (DC) y qué no?

Question

Como la mayoría de nosotros, he luchado mucho cuando la escuché por primera vez sobre el Axioma de Elección (AC) y sus consecuencias. Algunas de las cosas que se pueden derivar de CA no está de acuerdo con mi intuición. Considere por ejemplo Zermelo del teorema aplicado a $\mathbb{R}.$

Durante muchos años he querido abandonar este mal axioma, pero yo era impotente. Yo creía, equivocadamente, que la asunción de $\neg AC$ implica que todos los clásicos de los resultados de usar el aire acondicionado está perdido. Equivalencia de Cauchy y Haine continuidad, por ejemplo. Yo no era consciente de que hay alternativas a la CA.

Finalmente, cuando se trata con la caracterización de Noetherian anillos me encontré Axioma de la Dependiente de la Elección (DC). Sonaba tan bien para mí. He creído en él desde que la leí por primera vez.

Desde ese día trato de volver a examinar todos los resultados que utilice AC para averiguar si DC es suficiente. Secretamente me puede decir, que todos los resultados que se derivan de DC me tratan como una verdad sagrada y aquellos que requieren de CA tan horrible mentira.

Pregunta. ¿Qué resultados se desprende de la DC y de lo que requieren los resultados de CA completa?

Estoy interesado en el formulario de resultados de todas las matemáticas. La teoría de conjuntos, la topología, el álgebra, lógica, etc.

Obviamente todos los resultados que son equivalentes a de CA de la caída del segundo grupo.

Answer 1

Por supuesto, una respuesta completa es imposible dar aquí, ya que tendría que cubrir muchos detalles acerca de la $\sf DC$, otra opción principios, y de la matemática moderna.

Permítanme darles, en pocas palabras, un par de ejemplos de cada categoría de interés.

$\bf 1.$ Lo que equivale a $\sf DC$

• Cada árbol de la altura de la $\omega$ sin máximo de nodos tiene una sucursal; o en una más Zorn-de igual manera, cada orden parcial donde cada finito de la cadena tiene una cota superior, tiene un elemento maximal o una contables de la cadena. (Ya que todos finito de cadenas tienen límites superiores, esto se traduce a "Todo el orden parcial tiene un elemento maximal o una contables de la cadena.)

• De Categoría de Baire Teorema. La intersección de una contables de la familia de los densos bloques abiertos en un espacio métrico es densa.

• El hacia abajo Lowenheim-Skolem teorema de contables de idiomas: si $\cal L$ es una contables idioma y $M$ es una estructura de $\cal L$, entonces no es un elemental submodel $N\subseteq M$ que es contable.

• Un orden parcial sin infinita descendente de las cadenas está bien fundada, es decir, cada conjunto no vacío tiene un mínimo elemento.

$\bf 2.$ ¿Qué es más débil de lo $\sf DC$

• El axioma de elección para los contables de las familias.

• Cada conjunto infinito tiene un countably subconjunto infinito.

• El contable de la unión de conjuntos contables es contable.

• Los números reales no son numerables y unión de conjuntos contables.

• Hay un trivial medida de Borel establece que es $\sigma$-aditivo.

• No es $\alpha$ tal que $\aleph_{\alpha+1}$ ha contables cofinality.

$\bf 3.$ Lo que no se sigue de $\sf DC$

• El de Hahn–Banach teorema.

• La existencia de irregularidades en los conjuntos de reales (por ejemplo, establece que no son medibles, establece que no tiene la propiedad de Baire, conjuntos que no tienen un perfecto subconjunto).

• Cada conjunto puede ser linealmente ordenado.

• La existencia de la libre ultrafilters en $\Bbb N$

• El Krein–Milman teorema.

• La existencia de un discontinuo lineal funcional en $\ell^1$ o, incluso, la existencia de un no-cero lineal funcional en $\ell^\infty/c_0$.

• El teorema de compacidad (para la lógica de primer orden), que es equivalente a el teorema de Tychonoff restringido a los espacios de Hausdorff.

• El axioma de la elección arbitraria de las familias de conjuntos finitos (o en realidad, cualquier cosa que requiere más de countably muchas opciones).

Estas listas pueden extenderse ad infinitum. Desde $\sf DC$ es uno de los más útiles elección de los principios de ahí, sus usos pueden ser implícita (o explícita) en muchas obras de la matemática moderna. Incluso aquellas cosas que no siga de $\sf DC$ podría tener una débil instancias que hacer, las que resultan ser tan bueno y tan útil para cosas como el análisis y la teoría de números como la plena axioma de elección.

Answer 2

Caído, no es un resultado de lo que puedo asegurarle a usted acerca de la validez de los mismos en ZF+ACC (contables de elección) es decir, el $\sigma$-aditividad de la medida de Lebesgue. Por otro lado, es coherente con el ZF solo que existe una estrictamente positivo función real con cero de la integral de Lebesgue; véase este artículo reciente.

Otra interesante par de hechos que

(1) la transferencia de principio en Robinson marco para el análisis con infinitesimals para un definibles extensión de $\mathbb{R}\hookrightarrow{}^\ast\mathbb{R}$ puede ser demostrado en ZF+ACC. El problema es que

(2) el propio de esa extensión en particular requiere más fuerte fundacional de materiales tales como la existencia de máxima ideales.

Así lo anunció en su esquema de las cosas (2) clasificaría como "una horrible mentira" como usted dice, pero tal vez (1) puede calmar sus preocupaciones.

Answer 3

Kurt Gödel en 1930 demostró que Con(ZF) implica Con(ZFC). Pablo Cohen en la década de 1960 mostró que Con(ZF) implica Con(ZF$+\;\neg$CA). Así que usted puede elegir, por así decirlo.

DC implica CC (Contables de Elección). CC: Si $f$ es un conjunto de valores de la función con dom ($f)= \omega,$$f(n)\ne \phi$todos los $n,$ $\prod_{n\in \omega}f(n)\ne \phi.$

CC implica que una contables de la unión de conjuntos contables es contable, y que, por ende, $\omega_1$ es regular el cardenal, que es lo que importa en la teoría de conjuntos de Borel, entre otras cosas.

En ZF las palabras finito y lo infinito debe ser utilizado con precaución. Un Tarski-conjunto finito es un bijective imagen (o cualquier imagen funcional) de un miembro de $\omega.$ Un conjunto $S$ es Dedekind-infinito iff hay una inyección de $S$ a un subconjunto de S. es un elemental ejercicio para demostrar que $S$ es Dedekind-infinito iff $S$ tiene un countably subconjunto infinito.

Se ha demostrado que es equi-de acuerdo con ZF de que hay un conjunto que no es ni Tarski-finito ni Dedekind-infinito.

Podemos utilizar DC para demostrar que un conjunto $S$ que no es Tarski-finito es Dedekind infinito, como sigue: $n\in \omega$ deje $F_n$ el conjunto de funciones inyectiva de a $n$ a $S.$ Deje $F=\cup_{n\in \omega}F_n.$ $f,g \in F,$ deje $f<^*g$ fib dom($f)\subsetneqq$ dom ($g)$ $g|_{\text {dom}(f)}=f.$

A continuación, $<^*$ es una relación binaria en a $F$ y dom$(<^*)=F.$ $\phi$ (la función vacía) pertenece a $F.$, de Modo DC implica que hay una secuencia $(f_n)_{n\in \omega}$ $F$ $f_0=\phi$ $f_n<^*f_{n+1}$ todos los $n\in \omega.$ $\cup_{n\in \omega}f_n$ es una inyección de $\omega$ a $S.$

Yo dk si que puede ser probada utilizando sólo CC.