¿Hay una manera rápida de distinguir entre una cuña de esferas y un espacio proyectivo suspendido?

Question

Recuerdo leer sobre el siguiente ejemplo hace un tiempo en uno de Steenrod los papeles en cohomology de operaciones. Si nos fijamos en $S^3\vee S^5$ e $\Sigma \mathbb{C} P^2$, estos espacios han isomorfo cohomology anillos de más de $\mathbb{Z}$, debido a que la copa de los productos en el cohomology de una suspensión son siempre cero. Sin embargo, debido a Steenrod plazas son estables, tenemos un no-trivial $Sq^2$ actuando en $H^3(\Sigma \mathbb{C} P^2)$, y por lo tanto, estos espacios no pueden ser homotopy-equivalente.

Hay otra forma más rápida, o primaria, la manera de distinguir a estos espacios?

Answer 1

También podemos distinguir el uso de homotopy grupos. Tenga en cuenta que $\mathbb{C}P^2$ es el $4$-esqueleto de la $\mathbb{C}P^\infty$ que es un $K(\mathbb{Z},2)$, y de ello se sigue que $\pi_3(\mathbb{C}P^2)\cong \pi_3(\mathbb{C}P^\infty)=0$. Desde $\mathbb{C}P^2$ es simplemente conexa, la suspensión mapa de $\pi_3(\mathbb{C}P^2)\to\pi_4(\Sigma\mathbb{C}P^2)$ es surjective por el Freudenthal suspensión teorema, por lo $\pi_4(\Sigma\mathbb{C}P^2)$ es trivial.

Por otro lado, $\pi_4(S^3)\cong \mathbb{Z}/2$ e $S^3$ es un retractarse de $S^3\vee S^5$, lo $\pi_4(S^3\vee S^5)$ es trivial. Por lo tanto $S^3\vee S^5$ no puede ser homotopy equivalente a $\Sigma\mathbb{C}P^2$.

(Por supuesto, esto plantea la pregunta de cómo podemos saber que $\pi_4(S^3)$ es no trivial, que probablemente no pueda ser demostrado por cualquier medio que son más fáciles que la Steenrod plaza argumento que usted ha mencionado, y de hecho algunos de los más comúnmente utilizados formas de demostrar que están muy estrechamente relacionadas con el hecho de que $Sq^2$ es trivial en $H^2(\mathbb{C}P^2)$.)

Answer 2

Ya nos estábamos divirtiendo pensé que llegaría a esto. Parecía adecuadamente ridículo.

Hay un $7$-conectado mapa de $\iota:\Sigma\mathbb{C}P^2\rightarrow SU_3$ mediante la remisión de una compleja línea de la generalización en la reflexión a través de esa línea (este mapa es en realidad discutido en algún momento de Steenrod y el virus de Epstein cuando se habla de las células de las estructuras de los clásicos de grupos). Se supone que hay una homotopy la equivalencia entre los $S^3\vee S^5$ e $\Sigma\mathbb{C}P^2$. A continuación, hay un mapa de $w:S^7\rightarrow \Sigma\mathbb{C}P^2$ que representa la Whitehead producto que se conecta en la parte superior de la célula de $S^3\times S^5$, por lo que en particular hay una secuencia cofiber

$$S^7\xrightarrow{w} \Sigma\mathbb{C}P^2\rightarrow S^3\times S^5.$$

Entonces a partir de la $\pi_7SU_3=0$ hay un null-homotopy $\iota\circ w\simeq\ast$ , y esto da lugar a una extensión de $\hat\iota:S^3\times S^5\rightarrow SU_3$. Desde $H^*SU_3\cong\Lambda(x_3,x_5)$ es un exterior de álgebra en las clases de satisfacciones $\iota^*x_3=\sigma x$, e $\iota^*x_5=\sigma x^2\in H^*\Sigma\mathbb{C}P^2$ nos encontramos con que $\hat\iota $ induce un isomorfismo en cohomology. Desde ambos espacios se conecta simplemente a este mapa debe ser en realidad una homotopy equivalencia

$$\hat\iota:S^3\times S^5\simeq SU_3.$$

Pero esto es absurdo, ya que en este caso $S^5$ retrae de la H-espacio de $SU_3$ y así debe tener un H-estructura. Pero esto no puede ser, para resolver el invariante de Hopf un problema Adams demostró que la única esferas que apoyan H-estructuras de se $S^0$, $S^1$, $S^3$ e $S^7$. Por lo tanto, tenemos una contradicción.