$\cos(\theta-\phi)=\frac{2ab}{a^2+b^2}$ donde $a=\sin(\theta)+\cos(\phi)$ y $b=\cos(\theta)+\sin(\phi)$

Question

Estoy realmente atascado tratando de responder a esta pregunta y he pasado interminables horas haciéndolo.

Si $a=\sin(\theta)+\cos(\phi)$ y $b=\cos(\theta)+\sin(\phi)$ , demuestre que $\cos(\theta-\phi)=\frac{2ab}{a^2+b^2}$ .

He intentado trabajar de LHS a RHS y no he podido conseguirlo, también he probado de RHS a LHS y sigo sin conseguirlo, y un consejo o ayuda sería muy apreciado por favor.

También he probado a ir $ab={\ldots}$ y luego tratar de conseguirlo a partir de ahí, eso tampoco llegó a buen puerto.

Answer 1

$$(i).a=sin(\theta)+cos(\phi)$$

$$(ii).b=cos(\theta)+sin(\phi)$$ $$(i)^2+(ii)^2=2+2sin(\theta +\phi)$$ así que $$sin(\theta+\phi) ={(a^2+b^2)\over 2}-1$$ . $$(i)*(ii)={sin(2\theta)+sin(2\phi) \over 2}+cos(\theta-\phi)=sin(\theta+\phi)cos(\theta-\phi)+cos(\theta-\phi)$$ así que $$cos(\theta-\phi)={ab\over 1+sin(\theta+\phi)}={2ab\over a^2+b^2}$$

Answer 2

He aquí un enfoque diferente, posiblemente más geométrico.

Dejemos que $P$ y $Q$ esté en el círculo unitario con $\angle POX=\theta$ y $\angle QOX=\frac{\pi}2-\phi$ respectivamente. Parcela $A=(a,b)$ en el plano para que $\vec{OA}=\vec{OP}+\vec{OQ}$ y que $B=(c,d)$ sea la intersección del círculo unitario con la semirrecta $\overset{\longrightarrow}{OA}$ . Entonces sostiene $$ c=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}},\quad d=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}. $$ Ahora, como el cuadrilátero $OPAQ$ es un Rombo, $\overline{OA}$ es una bisectriz del ángulo de $\angle POQ$ lo que implica que $\angle BOX=\frac{\pi}{4}+\frac{\theta-\phi}{2}$ . Esto da $$(c,d)=\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\theta-\phi}{2}\right),\sin\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\theta-\phi}{2}\right)\right),$$ por lo que se deduce por la fórmula del doble ángulo $$ \frac{2ab}{a^2+b^2}=2cd = \sin\left(\frac{\pi}{2}+\theta-\phi\right)=\cos(\theta-\phi). $$