¿Cómo definir operaciones de límite en espacios topológicos generales? ¿Pueden las redes hacer esto?

Question

Siempre tuve la impresión de que para tomar un límite, necesito tener una métrica definida en mi espacio subyacente.

Para $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ , $ \lim_{x\to x_0}f(x)=a $ significa que para todos los $\epsilon >0 $ existe un $\delta(\epsilon)>0$ tal que $|f(x)-a|<\epsilon$ siempre que $0< |x-x_0|<\delta$ . La noción de límite utiliza la métrica subyacente $|\cdot|$ de $\mathbb{R}$ .

¿Existe una forma consistente de prescindir de la métrica y seguir definiendo una operación límite en algún espacio topológico? ¿Pueden las redes hacer esto?

Answer 1

La noción de límite está bien definida para cualquier espacio topológico, incluso los no métricos.

Esta es la definición correcta: dejemos $f : X \rightarrow Y$ sea una función entre dos espacios topológicos. Decimos que el límite de $f$ en un punto $x \in X$ es el punto $y \in Y$ si para todos los barrios $N$ de $y$ en $Y$ existe una vecindad $M$ de $x$ en $X$ tal que $f(M) \subset N$ .

Pero nótese que la caracterización secuencial del límite ( $f$ tiende a $y$ en $x$ si para cada secuencia $(x_n) \rightarrow x$ , uno tiene $f(x_n) \rightarrow y$ ) no es cierto en un espacio topológico general. Es verdadera si $X$ es metrizable.

Answer 2

Una red es una función de un conjunto dirigido $(I, \le)$ (digamos) a un espacio $X$ .

$f: I \to X$ converge a $x$ si para todo conjunto abierto $O$ que contiene $x$ existe algún $i_0 \in I$ (dependiendo de $O$ en general) tal que para todo $i \in I, i \ge i_0$ sabemos que $f(i) \in O$ .

El punto $f(i)$ se suele indicar con un subíndice: $x_i$ . Este subíndice puede ser cualquier miembro del conjunto dirigido $I$ . Una secuencia es el caso especial en el que $I=\mathbb{N}, \le)$ (en su orden estándar). La definición es no métrica en el sentido de que utilizamos conjuntos abiertos que contienen $x$ (no bolas abiertas) pero para los espacios métricos basta con comprobarlo para las bolas abiertas $B(x,\varepsilon), \varepsilon>0$ ya que estos forman una base local en $x$ .

Creo que $\lim_{x \to a} f(x)$ puede definirse considerando todas las redes $n$ en $X\setminus \{a\}$ que convergen en $a$ y si todo esas redes tienen la propiedad de que $f \circ n$ es una red en $Y$ convergiendo a la mismo $b \in Y$ entonces esto $b$ se llama el límite de $f$ como $x$ tiende a $a$ .

Si $X$ tiene una topología inducida a partir de una métrica, por ejemplo, entonces podemos limitarnos a las secuencias en lugar de las redes generales en la caracterización anterior.

Answer 3

La definición general de continuidad es la siguiente: sea $X$ y $Y$ sean espacios topológicos y $f:X \to Y$ sea un mapa. $F$ es continua si la imagen inversa de cualquier conjunto abierto es abierta. $f$ es continua en un punto $x$ si para todo conjunto abierto $V$ que contiene $f(x)$ existe un conjunto abierto $U$ que contiene $x$ tal que $f(U) \subset V$ .

Continuidad de $f$ equivale a lo siguiente: siempre que una red $(x_i)_{i \in I}$ converge a algún punto $x$ tenemos $x$ tenemos $(f(x_i))_{i \in I}$ converge a $f(x)$ . De la misma manera, $f$ es continua en un punto $x$ si siempre que una red $(x_i)_{i \in I}$ converge a $x$ tenemos $x$ tenemos $(f(x_i))_{i \in I}$ converge a $f(x)$ .