¿Cómo es la integral$2/π\int_{0}^{π} x^2\cos(nx) dx = \frac{4(-1)^n}{n^2}$?

Question

Pensé que sería esto: $$2/π\int_{0}^{π} x^2\cos(nx) dx = 2/π\int_{0}^{π} x^2(-1)^n = 2/π(-1)^n\int_{0}^{π} x^2=\frac{2}{π(-1)^n}\biggl[\frac{x^3}{3}\biggr]_0^π =\frac{2(-1)^n}{3π^3}. $ $

Pero en realidad es $$\frac{2}{π}\int_{0}^{π} x^2\cos(nx) dx = \frac{4(-1)^n}{n^2}$ $ de acuerdo con las notas de mi profesor. ¿Cómo obtuvo esa respuesta?

Gracias.

Answer 1

Sugerencia: dos veces integrándonos por partes obtenemos $$ \ int_ {0} ^ {\ pi} x ^ 2 \ cos (nx) dx = {\ frac {{\ pi} ^ {2} \ sin \ left (\ pi \, n \ derecha) {n} ^ {2} +2 \, n \ cos \ left (\ pi \, n \ right) \ pi-2 \, \ sin \ left (\ pi \, n \ right) } {{n} ^ {3}}} $$

Answer 2

No puedes decir que $\cos nx = (-1)^n$ . Esto es válido para $x=\pi$ . Un contraejemplo sería $\cos n\cdot0 = 1$ , y esto no depende de $n$ .

La forma correcta de hacer esta integral es utilizando la integración por partes, varias veces.

Sugerencia: $u=x^2$ , $\text dv = \cos nx\ \text dx$ .

Answer 3

Sólo otro enfoque. Desde $$ \ int_0 ^ \ pi \ cos (ax) \, dx = \ frac {\ sin (a \ pi)} {a}, \ qquad a \ in \ mathbb {R}, \, a \ neq 0, $$ differentiating twice with respect to $ a $ da $$ \ int_0 ^ \ pi x ^ 2 \ cos (ax) \, dx = \ frac {(2-a ^ 2 \ pi ^ 2) \ sin (a \ pi)} { a ^ 3} +2 \ pi \, \ frac {\ cos (a \ pi)} {a ^ 2},$$ then put $ a: = n$ using $ \ sin (n \ color {rojo} {\ pi}) = 0$ and $ \ cos (n \ color {red} {\ pi}) = (- 1) ^ n$ where $ n = 1,2, \ cdots $ .

Answer 4

$$\dfrac{d\{x^m\cos(nx)\}}{dx}=-nx^m\sin nx+mx^{m-1}\cos(nx)$$

La integración de ambos lados,

$\displaystyle x^m\cos nx=-n\int x^m\sin nx+m\int x^{m-1}\cos(nx)$

$\displaystyle \pi^m\cos n\pi=-n\int_0^\pi x^m\sin nx+m\int_0^\pi x^{m-1}\cos(nx)$

$\displaystyle f(m)=\int_0^\pi x^m\sin nx=?$

Del mismo modo,

$$\dfrac{d\{x^m\sin(nx)\}}{dx}=nx^m\cos nx+mx^{m-1}\sin(nx)$$

La integración de ambos lados,

$\displaystyle\implies x^m\sin(nx)=n\int x^m\cos nx\ dx+m\int x^{m-1}\sin(nx) \ dx$

$\displaystyle\implies \dfrac{n^2}m\int_0^\pi x^m\cos nx\ dx=-n\int_0^\pi x^{m-1}\sin(nx)$

$\displaystyle=-n f(m-1)=\pi^{m-1}\cos n\pi-(m-1)\int_0^\pi x^{m-1}\cos nx\ dx$

Ahora $\cos n\pi=(-1)^n$

Set $m=2,1$