Si $f^2(t) \le 1+2\int_0^tf(s)\mathrm{d}s$ probar $f(t)\le 1+t$

Question

Si $f(x)$ es positiva y continua en $[0,1]$ y $f^2(t) \le 1+2\int_0^tf(s)\mathrm{d}s$ , demuestre que $f(t)\le 1+t$ .

Esto es lo que pienso.

$$f^2(t) \le 1+2\int_0^tf(s)\mathrm{d}s \Rightarrow f(t)\le \sqrt{1+2\int_0^tf(s)\mathrm{d}s} $$ $$\Rightarrow \int_0^t\frac{f(t)}{\sqrt{1+2\int_0^tf(s)\mathrm{d}s}}\mathrm{d}t = \sqrt{1+2\int_0^tf(s)\mathrm{d}s}-1 \le t$$ $$ \Rightarrow 2\int_0^tf(s)\mathrm{d}s\le t^2+2t$$

Esto proviene de la integración de dos lados de $f(t)\le 1+t$ . Pero no sé qué hacer a continuación.

Answer 1

Ya casi has terminado. Has deducido correctamente que $$ \sqrt{1+2\int_0^tf(s)\mathrm{d}s} - 1 \le t \, . $$ Ahora utiliza la desigualdad inicial dada para concluir que $$ f^2(t) \le 1+2\int_0^tf(s)\mathrm{d}s \le (1+t)^2 \implies f(t) \le 1+t \, . $$

Answer 2

Entonces $$f^2(t)\leq t^2+2t+1 = (t+1)^2\implies |f(t)|\leq |t+1|$$