He pensado en la conjetura de Collatz (el problema de 3n+1).
Supongamos que algún número, C, diverge bajo la iteración. Primero observamos que C debe ser impar porque si C fuera par se reduciría a la mitad inmediatamente, y así $\frac {C}{2}$ sería el más bajo.
Toma alguna potencia arbitraria de 2, $2^a, a>1$ y realicemos la iteración sobre $2^a +1$
$2^a+1$ es impar, así que vamos a $3*2^{a}+4$ y luego a $3*2^{a-1}+2$ y a $3*2^{a-2}+1$
Dado que observamos que $3*2^{a-2}+1 < 2^{a}+1$ C no puede ser de la forma $2^a+1$ .
Ahora supongamos que tenemos algún número n que definitivamente llega a 1. Ahora realizamos la iteración de Collatz sobre $2^{a}+n$ . La paridad de este número es idéntica a la paridad de n.
Si realizáramos 3n+1, entonces tendríamos $3*2^{a}+3n+1$
En efecto, como la paridad del número está determinada por n, la iteración (es decir, si triplicamos y sumamos uno o reducimos a la mitad) es idéntica a la de n.
Si decimos que hay $\alpha$ '3n+1's y $\beta$ ' $\frac{n}{2}$ Esto nos da la expresión
$\frac{3^{\alpha}}{2^{\beta}}*2^{a}+1 < 2^{a}+1 < 2^{a}+n$ (siempre y cuando $\frac{3^{\alpha}}{2^{\beta}}<1$ )
Sabemos que esta es la misma iteración que debe sufrir n, y sabemos que al iterar n, llegaremos a lo siguiente:
$\frac{3^{\alpha}}{2^{\beta}}n+k=1 > \frac{3^{\alpha}}{2^{\beta}}n$
Donde k es alguna constante positiva que depende del orden de las iteraciones. Esto implica que $\frac{3^{\alpha}}{2^{\beta}}<1$ .
Por lo tanto, como teníamos con el caso n=1, siempre que n llegue a 1, $2^{a} +n$ pasa a 1.
Ahora supongamos que hemos verificado el caso de la conjetura de Collatz para algunos números pequeños; digamos 1 y 3. No sólo es cierta para n=1 y 3, sino que también lo es para 5,7,9,11,17,19, etc.
Y como es cierto para 1,3,5,7... debe ser cierto para 9,11,13 y 15, de lo cual podemos decir que es cierto para 17,19,21 y así sucesivamente para todos los números enteros Impares.
Y por lo tanto nuestro número C al principio no es ni impar ni par, y por lo tanto no hay ningún número más pequeño que diverja al infinito. De hecho, si decimos que C podría ser el elemento más pequeño de un ciclo entonces también tendríamos una contradicción.
¿Esto es legítimo? Probablemente he cometido un error en alguna parte, pero pensé que valía la pena ponerlo aquí ya que podría llamar la atención. Gracias por su tiempo.
ACTUALIZACIÓN: Se ha señalado que hay un fallo en el argumento. En concreto, que hemos asumido que a, la potencia de 2, es mayor que $\beta$ cuando, en general, no lo es. La consecuencia de esto es que ciertos números, específicamente los de la forma $2^{a}-n$ donde a es cualquier número entero mayor que 1 y n es 1, 5 o 17. Por ejemplo, si tomamos $2^{4}-5=11$ tenemos:
$2^{4}-5 \rightarrow 3*2^{4}-14 \rightarrow 3*2^{3}-7 \rightarrow 3^{2} * 2^{3}-20 \rightarrow 3^{2} * 2^{2}-10 \rightarrow 3^{2} * 2^{1}-5 \rightarrow 3^{3} * 2^{1}-14 \rightarrow 3^{3}-7 $
Disculpas por la notación algo desordenada, pero nos ayuda a ver lo que está pasando. En primer lugar, vemos que el 4 se ha reducido a la nada sin que sepamos mucho sobre el número (desde luego, no si disminuye). También observamos que en los términos 1 y 6 aparece 5 al final - esto es porque cuando extendemos la iteración a enteros negativos, hay más ciclos que 1-2-4 y sus elementos más pequeños son precisamente -1, -5 y -17.
