Estoy tratando de resolver las ecuaciones diferenciales simultáneas $$\frac{dx}{y^2(x-y)}=\frac{dy}{x^2(x-y)}=\frac{dz}{z(x^2+y^2)}.$ $ De las dos primeras fracciones, podemos obtener la ecuación $x^3 - y^3 = c$ , pero no puedo obtener una segunda ecuación con $z$ .
Respuesta
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Deje $y=mx$ y elimine las ocurrencias de $y$ . Luego, las partes izquierda y media del rendimiento de igualdad $$\frac{\mathrm{d}x}{x}=\frac{m^2 \,\mathrm{d}m}{1-m^3}$ $
mientras que las partes izquierda y derecha dan $$ \begin{split}\frac{\mathrm{d}z}{z}&=\frac{1+m^2}{m^2(1-m)}\frac{\mathrm{d}x}{x}\\ &=\frac{(1+m^2)\mathrm{d}m}{(1-m^3)(1-m)}\text{.} \end {split} $$
Estas ecuaciones se pueden resolver por los métodos habituales de integración por fracciones parciales.
