Supongamos que $e=p/q$ con números enteros $p,q$ . Entonces tenemos: \begin{align} &qe=p\\ &(qe)^{2i\pi}=p^{2i\pi} , \text{ since $e^{2i\pi}=1$:} \\ &q^{2i\pi}=p^{2i\pi}, \text{since the exponents are the same:} \\ &q=p \end{align}
que implicaría $e=p/q=1$ . Pero en ninguna parte de la "prueba" se utiliza el hecho de que $p,q$ son números enteros. Si tomamos $p,q$ complejo $e$ puede que ni siquiera sea un número.
¿Dónde está el error?
Te equivocaste en el último paso. Como eres plenamente consciente, $e^{2i \pi} = 1$ , al igual que $e^0 = 1$ . Esto significa que la función exponencial compleja ya no es inyectiva, lo que significa literalmente que $e^z = e^w$ ya no implica $z = w$ con $z = 2 i \pi$ y $w = 0$ siendo un contraejemplo.
Entonces, ¿qué hace $e^z = e^w$ ¿Realmente implica? Tenemos $$e^z = e^w \implies \frac{e^z}{e^w} = 1 \implies e^{z - w} = 1.$$
Si escribimos $z - w = x + iy$ , donde $x, y \in \Bbb{R}$ esto da como resultado $$1 = e^{x + iy} = e^x(\cos(y) + i \sin(y)),$$ lo que implica $e^x = 1$ de tomar el módulo de ambos lados, y $y = 2\pi k$ para algún número entero $k$ . Desde $x \in \Bbb{R}$ Debemos tener $x = 0$ Así que $$z - w = 2 i \pi k$$ para algunos $k \in \Bbb{Z}$ .
Por lo tanto, teniendo en cuenta $p^{2 i \pi} = q^{2 i \pi}$ podemos concluir, por definición de la exponenciación compleja, $$e^{2 i \pi \log p} = e^{2 i \pi \log q}$$ y por lo tanto, para algunos $k \in \Bbb{Z}$ , $$2 i \pi \log p = 2 i \pi \log q + 2 i \pi k \implies \log(p / q) = k \implies p / q = e^k.$$ En este caso, $k = 1$ no hay ninguna contradicción.
Entonces es cierto que $\ln(z^w) = w \ln z + 2i\pi k$ ? Para los complejos $z,w$ y enteros $k$ ?
@Pinteco Esa es una pregunta más peliaguda, que merece su propia pregunta aparte. Es un poco larga para responderla en un comentario, pero ten en cuenta que, cuando permites que la base sea compleja, la exponenciación compleja es multivalente ¡!
$$q^{2\pi i}=p^{2\pi i}\to e^{i\cdot 2\pi \ln q}=e^{i \cdot 2\pi \ln p}\tag{1}$$
Recuerda que $e^{i\theta}=\cos\theta +i\sin \theta$ :
Debido a la periodicidad de $\cos$ y $\sin$ El sólo conclusión que se puede sacar de $(1)$ es:
$$2\pi\ln(q)=2\pi(\ln(p)+k) : k\in \Bbb Z$$
Lo que podemos simplificar a: $$\ln(q)-\ln(p)=k\implies \frac qp = e^k$$
Aquí, $k=-1$ trivialmente.
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Su último paso es erróneo
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Tenga en cuenta que $(e^2)^{2i\pi} = (e^3)^{2i\pi}$ pero $e^2 \neq e^3$ .
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La exponenciación en el número complejo no es uno a uno, y el logaritmo complejo es multivalente; así que no se puede pasar de $p^{2i\pi}=q^{2i\pi}$ à $p=q$ .
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Desde que tomó el $\log$ de $p^{2i\pi} = q^{2i\pi}$ no resultará en $2i\pi \ln(p) = 2i\pi \ln(q)$ lo que implica en $p=q$ ¿Qué ocurrirá cuando se tome el $\log?$
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Para los números reales $a,b$ La definición de $\exp(a+bi)$ es que es igual a $e^a(\cos(b) + i \sin(b))$ , donde $e^a$ es el exponencial real habitual. A partir de esto, se puede comprobar que la exponencial no es uno a uno. El logaritmo complejo es lo que se llama una "función multivaluada". Para cada número complejo $\alpha$ Hay infinitamente muchos valores de $\log(\alpha)$ es decir, infinitos números complejos $c$ tal que $\exp(c)=\alpha$ .
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Así que lo que tienes es que $p^{2i\pi} = (e^{\ln(p)})^{2i\pi} = e^{2i\pi\ln(p)} = (\cos(2\pi\ln(p))+i\sin(2\pi\ln(p))$ . Del mismo modo, con $q^{2i\pi}$ . Así que todo lo que sabes es que $\cos(2\pi\ln(p))=\cos(2\pi\ln(q))$ y $\sin(2\pi\ln(p))=\sin(2\pi\ln(q))$ .