Trató de demostrar que $e$ es irracional pero terminó demostrando que no es un número real.

Question

Supongamos que $e=p/q$ con números enteros $p,q$ . Entonces tenemos: $$\begin{align} &qe=p\\ &(qe)^{2i\pi}=p^{2i\pi} , \text{ since $e^{2i\pi}=1$:} \\ &q^{2i\pi}=p^{2i\pi}, \text{since the exponents are the same:} \\ &q=p \end{align}$$

que implicaría $e=p/q=1$ . Pero en ninguna parte de la "prueba" se utiliza el hecho de que $p,q$ son números enteros. Si tomamos $p,q$ complejo $e$ puede que ni siquiera sea un número.

¿Dónde está el error?

Answer 1

Te equivocaste en el último paso. Como eres plenamente consciente, $e^{2i \pi} = 1$ , al igual que $e^0 = 1$ . Esto significa que la función exponencial compleja ya no es inyectiva, lo que significa literalmente que $e^z = e^w$ ya no implica $z = w$ con $z = 2 i \pi$ y $w = 0$ siendo un contraejemplo.

Entonces, ¿qué hace $e^z = e^w$ ¿Realmente implica? Tenemos $$e^z = e^w \implies \frac{e^z}{e^w} = 1 \implies e^{z - w} = 1.$$

Si escribimos $z - w = x + iy$ , donde $x, y \in \Bbb{R}$ esto da como resultado $$1 = e^{x + iy} = e^x(\cos(y) + i \sin(y)),$$ lo que implica $e^x = 1$ de tomar el módulo de ambos lados, y $y = 2\pi k$ para algún número entero $k$ . Desde $x \in \Bbb{R}$ Debemos tener $x = 0$ Así que $$z - w = 2 i \pi k$$ para algunos $k \in \Bbb{Z}$ .

Por lo tanto, teniendo en cuenta $p^{2 i \pi} = q^{2 i \pi}$ podemos concluir, por definición de la exponenciación compleja, $$e^{2 i \pi \log p} = e^{2 i \pi \log q}$$ y por lo tanto, para algunos $k \in \Bbb{Z}$ , $$2 i \pi \log p = 2 i \pi \log q + 2 i \pi k \implies \log(p / q) = k \implies p / q = e^k.$$ En este caso, $k = 1$ no hay ninguna contradicción.

Answer 2

$$q^{2\pi i}=p^{2\pi i}\to e^{i\cdot 2\pi \ln q}=e^{i \cdot 2\pi \ln p}\tag{1}$$

Recuerda que $e^{i\theta}=\cos\theta +i\sin \theta$ :

Debido a la periodicidad de $\cos$ y $\sin$ El sólo conclusión que se puede sacar de $(1)$ es:

$$2\pi\ln(q)=2\pi(\ln(p)+k) : k\in \Bbb Z$$

Lo que podemos simplificar a: $$\ln(q)-\ln(p)=k\implies \frac qp = e^k$$

Aquí, $k=-1$ trivialmente.