G es un grupo y$(ab)^3=a^3b^3$ para todos$a,b \in G$. Probar (o refutar con un contraejemplo) que si$(ab)^3=(ba)^3$, entonces$ab=ba$.

Question

La proposición. Deje $G$ ser un grupo tal que $(ab)^3=a^3b^3$ para todos los $a,b \in G$. Si $(ab)^3=(ba)^3$, a continuación, $ab=ba$.

¿Es cierto o falso? Hasta ahora sólo he sido capaz de probar que los poderes de $a$ conmuta con $b^3$ y los poderes de $b$ con $a^3$.

Answer 1

Sugerencia:

Deje $U(3, \mathbb F_3)$ el grupo de todos los $3 \times 3$ triangular superior matrices con todas las entradas de la diagonal $1$, sobre el campo $\mathbb F_3$. Por lo tanto, los elementos son los de las matrices de la forma $$\begin{bmatrix}1 & a & b\\0 & 1 & c\\0 & 0 & 1\end{bmatrix}$$ where $a, b, c \in \mathbb F_3 = \{0,1,2\}$, the field of order $3$.

1. ¿Qué es el exponente de un grupo [el menos positivo $n$ tal que $g^n = 1$ para todos los elementos del grupo $g$]? O: Determinar el orden de cada elemento.
2. Es el grupo Abelian?
3. ¿Qué Puntos 1 y 2 implican sobre el estado de la Propuesta en este grupo?