¿Cómo probar que$\mathbb{Z}[X]/g\mathbb{Z}[X]$ no es un campo?

Question

Cómo probar que $\mathbb{Z}[X]/g\mathbb{Z}[X]$ , no es un campo, donde $g$ es un polinomio no constante en $\mathbb{Z}[X]$?

(La clave es mostrar que $f : \mathbb{Z}[X]/g\mathbb{Z}[X] \to \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ no es inyectiva.)

edit 1: Ahora estoy tratando de encontrar la característica del anillo. Considerar el mapa: $g: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}[X]/g\mathbb{Z}[X]$, donde $m \mapsto 1 + 1 + \cdots + 1 $ (m veces). Desde la $\ker f$ es un ideal de a$\mathbb{Z}$, tiene que ser de la forma $n\mathbb{Z}$, donde $n$ es la característica. Así que supongo que la característica es $0$...¿no?

edit 2: Gracias por todas las respuestas de abajo! Miré a través de la respuesta, pero es un poco avanzado para mí... lo he descubierto con el tiempo, utilizando algunas de las ideas más básicas y voy a poner aquí cuando tengo algo de tiempo...Gracias de nuevo!

edit 3:

Mi solución:

Paso 1: Probar que existe un $a \in \mathbb{Z}$ tal que $g(a) \neq 0, \pm 1$ y deje $p$ ser un número primo que divide a $g(a)$.

Supongamos $g(X) = \sum_{i = 1}^na_iX^i$, a continuación, $g(X) = 0$ tiene más de $n$ entero soluciones, $p(X) = g(X) -1 = 0$ tiene más de $n$ entero soluciones, y así es $q(X) = g(X)+1 = 0$. Hay en la mayoría de las $3n$ enteros que satisfacen $g(a) = 0,\pm1$, pero $\mathbb{Z}$ es infinita, por lo que no tiene que ser un $a \in \mathbb{Z}$ tal que $g(a) \neq 0, \pm 1$.

Paso 2: Demostrar que existe un único bien definido surjective de morfismos de anillos de $f: \mathbb{Z}[X] \to \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ envío de $X$ a $a$ mod $p$ y que produce un homomorphism de los anillos de $\phi: \mathbb{Z}[X]/g\mathbb{Z}[X] \to \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$.

Observar que $g\mathbb{Z}[X]$ está en el kernel, así que el mapa factor a través de $\mathbb{Z}[X]/g\mathbb{Z}[X]$.

Paso 3: Mostrar que el mapa resultante no es inyectiva.

Tenga en cuenta que el mapa de $\phi$ es inyectiva si y sólo si $\ker f = g\mathbb{Z}[X]$, pero en realidad $g\mathbb{Z}[X] \subset \ker f$. Alternativamente, según mi profe, si el mapa es inyectiva, $\mathbb{Z}[X]/g\mathbb{Z}[X]$ se identifica con un sub-anillo de $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ así habría característicos $p$, contradicción!

Paso 4: Hacemos uso de que si $g: K \to A$ donde $K$ es un campo, entonces $g$ es inyectiva o el cero mapa. Desde el mapa de arriba no es un cero mapa y hemos demostrado que no es inyectiva, $\mathbb{Z}[X]/g\mathbb{Z}[X]$ no puede ser un campo.

Answer 1

Mi respuesta se expande en JonHales comentario. Supongamos que el polinomio es $g(x)=a_nx^n + \cdots + a_0$, $a_i\in\Bbb{Z}$, $a_n\ne 0$, e $n > 0$. Elegir un primer $p$ con $p\nmid a_n$. A continuación, mod $p$, $g(x)$ , todavía tiene un grado $n$.

Por lo tanto $\Bbb{Z}[x]/(g,p)\simeq \Bbb{F}_p[x]/(g)\ne 0$, lo $(g,p)$ es un buen ideal de $\Bbb{Z}[x]$. Por otra parte, adecuadamente contiene $(g)$, desde el $(g)\cap \Bbb{Z}=(0)$. Por lo tanto $(g)$ no es maximal, y $\Bbb{Z}[x]/(g)$ , no es un campo.

Editar

En respuesta a la OP editar, diciendo que encontraron esta solución un poco avanzado, he pensado que me gustaría traducir la solución en las ideas más básicas para los lectores futuros.

De nuevo, si nuestro polinomio es $g(x)=a_nx^n+\cdots + a_0$, entonces si $p$ es un primer entero con $p\nmid a_n$, $p$ es distinto de cero, pero no una unidad en $\Bbb{Z}[x]/(g)$. Por lo tanto, $\Bbb{Z}[x]/(g)$ , no es un campo.

Prueba.

Por contradicción. Suponga $p \cdot c(x) \equiv 1 \pmod{g(x)}$ para algún polinomio $c(x)$. A continuación, $pc(x)-1 = g(x)h(x)$ para algún polinomio $h(x)$, lo $pc(x) = g(x)h(x)-1$. Escribir $h(x)=pq(x)+r(x)$, donde los coeficientes de $r$ son entre $0$ e $p-1$ (inclusive).

A continuación, $$pc(x)=g(x)(pq(x)+r(x))-1=pg(x)q(x) + g(x)r(x)-1,$$ y $$p(c(x)-g(x)q(x))=g(x)r(x)-1.$$ Ahora si $r(x)=0$, tenemos que el lado izquierdo es divisible por $p$, y el lado derecho es $-1$, así que esto es imposible.

Por otro lado, si $r(x)\ne 0$, $g(x)r(x)$ tiene grado positivo, y está llevando a término es $a_nb_m$, donde $b_m$ es el líder plazo de $r(x)$. Sin embargo $p$ debe dividir $g(x)r(x)-1$, por lo que se debe dividir el líder plazo, por lo $p\mid a_nb_m$. Sin embargo $p\nmid a_n$, e $1\le b_m\le p-1$, lo $p\nmid b_m$ . Por lo tanto $p\nmid a_nb_m$. Contradicción.