Probar una determinada binomio identidad con tres parámetros

Question

Me gustaría demostrar la siguiente identidad:

$$\sum_{m\geq 0} (-1)^{i-m}{m+k \choose m} {i-1 \choose m-1}{m+k+1 \choose j} = \sum_{m\geq 0} {m+k \choose k}{k+1 \choose i-m}{k+1 \choose j-m}$$

para fija $i,j \geq 1$, $k\geq 0$. Si ayuda, tengo una combinatoria de interpretación de la CARTA: cuenta el número de arreglos de $i$ $a$'s, $j$ $b$'s, y $k$ $c$'s de modo que la subcadenas "aa", "bb" no puede ocurrir (no hay ninguna restricción en el c.) Esto lo puedo demostrar, aunque no he encontrado un directo combinatoria prueba. Si es útil, puedo dar mi prueba para la mano derecha; yo derivados de la denominada Carlitz-Scoville-Vaughan teorema de la que me enteré hace poco en Matemáticas de Desbordamiento.

Es relativa a esta pregunta; tengo una prueba para él, depende de probar este binomio identidad. Me "tropecé" todo esto a través de unos muy optimista de adivinanzas, pero no estoy seguro de cómo demostrarlo. He pensado en usar WZ teoría, pero como yo sé que sólo se aplica a las identidades, con un parámetro, no más generales - pero yo sería muy feliz si un algoritmo de verificación de que era posible.

Otras posibilidades: Interpretar el lado izquierdo como una inclusión-exclusión argumento, o un determinantal fórmula. O bien, encontrar una recurrencia que ambos lados de satisfacer.

Answer 1

Multiplicar ambos lados por $x^iy^jz^k$ y la suma de todos los índices.

En primer lugar, veamos el lado izquierdo: $$ \begin{align} &\sum_{m,i,j,k}(-1)^{i-m}\binom{m+k}{m}\binom{i-1}{m-1}\binom{m+k+1}{j}x^iy^jz^k\\ &=\sum_{m,i,j,k}\binom{m+k}{k}\binom{-m}{i-m}\binom{m+k+1}{j}x^iy^jz^k\\ &=\sum_{m,j,k}\binom{m+k}{k}\binom{m+k+1}{j}\left(\frac{x}{1+x}\right)^my^jz^k\\ &=\sum_{m,k}\binom{m+k}{k}\left(\frac{x}{1+x}\right)^m(1+y)^{m+k+1}z^k\\ &=\sum_{m,k}(-1)^k\binom{-m-1}{k}\left(\frac{x}{1+x}\right)^m(1+y)^{m+k+1}z^k\\ &=\sum_{m}\left(\frac{x}{1+x}\right)^m(1+y)^{m+1}(1-(1+y)z)^{-m-1}\\ &=\frac{1+y}{1-(1+y)z}\frac{1}{1-\frac{x}{1+x}\frac{1+y}{1-(1+y)z}}\\ &=\frac{(1+x)(1+y)}{(1+x)+(1+y)-(1+x)(1+y)(1+z)}\tag{1} \end{align} $$ A continuación, vamos a mirar el lado derecho: $$ \begin{align} &\sum_{m,i,j,k}\binom{m+k}{k}\binom{k+1}{i-m}\binom{k+1}{j-m}x^iy^jz^k\\ &=\sum_{m,j,k}\binom{m+k}{k}\binom{k+1}{j-m}x^m(1+x)^{k+1}y^jz^k\\ &=\sum_{m,k}\binom{m+k}{k}x^m(1+x)^{k+1}y^m(1+y)^{k+1}z^k\\ &=(1+x)(1+y)\sum_{m,k}(-1)^k\binom{-m-1}{k}(xy)^m((1+x)(1+y)z)^k\\ &=(1+x)(1+y)\sum_{m}\frac{(xy)^m}{(1-(1+x)(1+y)z)^{m+1}}\\ &=\frac{(1+x)(1+y)}{1-(1+x)(1+y)z}\frac{1}{1-\frac{xy}{1-(1+x)(1+y)z}}\\ &=\frac{(1+x)(1+y)}{(1+x)+(1+y)-(1+x)(1+y)(1+z)}\tag{2} \end{align} $$ Comparando $(1)$ $(2)$ muestra que el lado izquierdo y derecho son iguales.

Answer 2

Se puede aplicar el Zeilberger algoritmo para este problema. La existencia de varias variables no es un problema, excepto que usted tiene la opción de seleccionar el que desea usar. (Esto es debido a que el cociente de su binomio coeffients será automáticamente totalmente factorizados y las variables adicionales que se produzcan como términos constantes en estos lineal de factores).

Decir, que usted elija $j$ como la variable en el Zeilberger algoritmo.

A continuación, encontrará una relación de recurrencia de grado 2 para la izquierda de la suma y de una recurrencia de la relación de grado 3 para el derecho de la suma.

A partir de estos dos recurrencias, se puede construir una recurrencia de la diferencia (por ejemplo, gfun rec+rec comando si el uso de arce) y, a continuación, sólo tiene que marcar suficientemente condiciones iniciales dar cero.

El resto de variables se producen en los coeficientes de su recurrencia, pero esto no supone un problema.

Otro enfoque es el de convertir ambas sumas de funciones hipergeométricas que pasan a ser ${}_3F_2$s y, a continuación, la búsqueda de la transformación de la fórmula de entre los muchos conocidos.

Si me dices lo que los programas que uso le puedo dar más consejos, pero tenga en cuenta que su notación de las sumas ya es problemático, debido a que su mano derecha de la expresión no es necesariamente cero positivos $m$, pero es de suponer que usted quiere que sea.