$\Delta u=3u$ entonces $u\equiv0$

Question

Tengo la siguiente pregunta en la que es fácil utilizar la transformada de Fourier para obtener la respuesta si la función es lo suficientemente bonita, por ejemplo $u\in C_{0}^{\infty}(\mathbb{R}^{n})$ Sin embargo, aquí $u$ es sólo en $L^{1}$ . ¿Cómo puedo superar esto?

La pregunta: Que $u\in L^{1}\left(\mathbb{R}^{n}\right)$ para que $\Delta u=3u$ en el sentido de la distribución. Demostrar que $u\equiv0$ .

Gracias.

Answer 1

La respuesta de JustDroppedIn funciona bien para $u\in L^1$ . He aquí la razón: Desde $\Delta u=3u\in L^1$ Es una distribución templada . Por lo tanto, podemos comprobar las funciones $\phi\in\mathscr{S}(\mathbb{R}^n)$ . Si lo hacemos, obtenemos $$ \langle \phi,\widehat{\Delta u}\rangle=\langle \Delta \hat \phi,u\rangle=-4\pi^2\langle \widehat{|\cdot|^2\phi},u\rangle=-4\pi^2\langle \phi,|\cdot|^2\hat u\rangle. $$ Así, $\widehat{\Delta u}(\xi)=-4\pi^2|\xi|^2\hat u(\xi)$ sin ninguna suposición adicional de diferenciación en $u$ . A partir de aquí puede proceder exactamente como sugiere JustDroppedIn.

Answer 2

Se puede utilizar la transformada de Fourier para cualquier $L^1$ ya que se define como un operador de $L^1$ a $L^\infty$ (o $C_0$ para ser más precisos); además, es un operador continuo.

Utilicemos la transformada de Fourier: Tenemos $\hat{\Delta u}(\xi)=\displaystyle{\sum_{j=1}^{n}\int_{\mathbb{R}^n}e^{-2\pi ix\cdot\xi}\frac{\partial^2 u}{\partial x_j^2}(x)dx=\sum_{j=1}^{n}\int_{\mathbb{R}^n}(-2\pi i\xi_j)^2e^{-2\pi ix\cdot\xi}u(x)dx=-4\pi^2\|\xi\|^2\hat{u}(\xi)}$ Por lo tanto $-4\pi^2\|\xi\|^2\hat{u}(\xi)=3\hat{u}(\xi)$ y eso vale para todos $\xi\in\mathbb{R}^n$ . Esto obliga a $\hat{u}$ para ser idéntico $0$ Por lo tanto $u\equiv0$ ya que la transformada de Fourier es inyectiva.