Si$cl(g)=\{g\}$ podemos implicar que$g\in Z(G)?$

Question

Sé que si $z\in Z(G)$, el centro de grupo $G$ entonces es cierto que $cl(z)=\{z\}$ donde $cl(g)$ es el conjugacy de la clase que contiene el elemento $g\in G$.

Pero lo que si $cl(g)=\{g\}$ podemos implica que $g\in Z(G)?$

Mi intento: $$cl(g)=\{h\in G|\exists k\in G\text{ such that }h=k^{-1}gk\}=\{g\}$$ de modo que existe un $k$ en $G$ tal que $g=k^{-1}gk$, pero podría no ser el caso para todos los $k$ en $G$ por lo tanto la afirmación anterior es falsa.

Gracias.

Answer 1

Tenemos $\operatorname{cl}(g)=\{g\}$ , entonces si $h\in G$ , entonces $h^{-1}gh\in \operatorname{cl}(g)$ implica $h^{-1}gh=g$ , es decir , $$gh=hg.$$ But $ h$ was arbitrary in $ G$. Hence $ g \ en Z (G) $ .