Aplicación práctica de matrices y determinantes

Question

Recientemente he aprendido sobre las matrices y los determinantes y también sobre las interpretaciones geométricas, es decir, cómo se utiliza la matriz para las transformaciones lineales y cómo los determinantes nos informan sobre los cambios de área/volumen.

Mis libros de texto escolares me dicen que las matrices y los determinantes pueden ser utilizados para resolver un sistema de ecuaciones, pero creo que un concepto tan amplio tendría aplicaciones más prácticas. Mi pregunta es: ¿cuáles son las diversas formas en que el concepto de matrices y determinantes se emplea en la ciencia o en la vida cotidiana?

Answer 1

Lo primero que entiendo de las matrices es que ofrecen una forma elegante de tratar los datos (de forma combinatoria, más o menos). Un ejemplo clásico y realmente concreto sería una cadena de Markov discreta (no te asustes por su nombre). Supongamos que nos dan la siguiente información: si hoy llueve, mañana tiene una probabilidad de 0,9 de que llueva; si hoy hace sol, mañana tiene una probabilidad de 0,5 de que llueva. Entonces puedes organizar estos datos en una matriz:

$$A=\begin{pmatrix} 0.9 & 0.5 \\ 0.1 & 0.5 \end{pmatrix}$$

Ahora bien, si se calcula $A^2=\begin{pmatrix} 0.86 & 0.7 \\ 0.14 & 0.3 \end{pmatrix}$ ¿Qué te parece? 0,86 es la probabilidad de que si hoy llueve, pasado mañana siga lloviendo y 0,7 es la probabilidad de que si hoy hace sol, pasado mañana llueva. Y este patrón se mantiene para $A^n$ una arbitraria $n$ .

Eso es lo sencillo: las matrices son una forma de calcular con elegancia. A mi entender, esto se ajusta al espíritu de las matemáticas. Las matemáticas se producen cuando la gente trata de resolver problemas prácticos. La gente descubre que si hace buenas definiciones y utiliza buenas notaciones, las cosas serán mucho más fáciles. Aquí entran las matemáticas. Y la matriz es una buena notación para facilitar las cosas.

Answer 2

Las matrices se utilizan mucho en la infografía. Si tienes las coordenadas de un objeto en un espacio 3D, puedes escalar, estirar y rotar el objeto considerando las coordenadas como vectores y multiplicándolas por la matriz apropiada. Cuando quieras mostrar ese objeto en la pantalla, el proyección a un objeto 2D es también una multiplicación matricial.

Answer 3

Los determinantes tienen una gran importancia teórica en matemáticas, ya que en general "el determinante de algo $= 0$ " significa que está ocurriendo algo muy especial, que puede ser una buena o mala noticia según la situación.

Por otro lado, los determinantes tienen muy poca utilidad práctica en los cálculos numéricos, ya que la evaluación de un determinante de orden $n$ "desde los primeros principios" implica $n!$ operaciones, lo cual es prohibitivo a menos que $n$ es muy pequeño. Incluso la regla de Cramer, que a menudo se enseña en un curso introductorio sobre determinantes y matrices, no es la más barato manera de resolver $n$ ecuaciones lineales en $n$ variables numéricamente si $n>2$ lo cual es una limitación bastante seria.

Además, si la magnitud típica de cada término en una matriz de orden $n$ es $a$ el determinante es probablemente de magnitud $a^n$ y para los grandes $n$ (decir $n > 1000$ ) ese número suele ser demasiado grande o demasiado pequeño para hacer eficiente cálculos informáticos, a menos que $|a|$ es muy cerca de $1$ .

Por otro lado, casi cada El tipo de cálculo numérico implica las mismas técnicas que se utilizan para resolver ecuaciones, por lo que las aplicaciones prácticas de las matrices son más o menos "el conjunto de las matemáticas aplicadas, la ciencia y la ingeniería". La mayoría de las aplicaciones implican sistemas de ecuaciones demasiado grandes para crearlos y resolverlos a mano, por lo que es difícil dar ejemplos sencillos y realistas. En las aplicaciones numéricas del mundo real, un conjunto de $n$ ecuaciones lineales en $n$ variables seguirían siendo "pequeñas" desde un punto de vista práctico si $n = 100,000,$ e incluso $n = 1,000,000$ no suele ser lo suficientemente grande como para causar verdaderos problemas: la solución sólo tardaría unos segundos en un ordenador personal típico.

Answer 4

Aquí hay una aplicación en el cálculo. La generalización multivariante de la integración por sustitución, es decir $x=f(y)\implies dx=f^\prime(y)dy$ utiliza el determinante de una matriz llamada Jacobiano en lugar del $f^\prime$ factor. En particular, la regla de la cadena $dx_i=\sum_j J_{ij}dy_j,\,J_{ij}:=\frac{\partial x_i}{\partial y_j}$ para $n$ -vectores dimensionales $\vec{x},\,\vec{y}$ puede resumirse como $d\vec{x}=Jd\vec{y}$ . Entonces $d^n\vec{x}=|\det J|d^n\vec{y}$ .

Answer 5

Hay muchas aplicaciones de los determinantes, pero sólo mencionaré una que se aplica a la optimización. Una matriz totalmente unimodular es una matriz (no tiene que ser cuadrada) que cada submatriz cuadrada tiene un determinante de 0, 1 o -1. Resulta que (por la regla de Cramer) si una matriz de restricciones $A$ de un programa lineal max $\{c’x:\: Ax \leq b, x \in \mathbb{R}^n_+\} $ es totalmente unimodular, se garantiza que tiene una solución entera si existe una solución. En otras palabras, el poliedro formado por $P = \{x:\: Ax \leq b\}$ tiene vértices enteros en $\mathbb{R}^n$ . Esto tiene importantes implicaciones en la programación entera, ya que resolvemos un programa entero que tiene una matriz totalmente unimodular como un programa lineal. Esto es ventajoso porque un programa lineal puede ser resuelto en tiempo polinómico, mientras que no existe un algoritmo polinómico para los programas enteros.