Si , Entonces

Question

Estoy estudiando Cálculo y tener una dificultad para resolver esta pregunta.

1) Si $f(x)\leq x$, a continuación, $f′(x)\leq 1$ para todos los $x$?

2) ¿Qué pasa si $f(0)=0$, $f′(x)$ existe para todas las $x$?

Yo podría encontrar fácilmente el contador de ejemplo para 1) (por lo Tanto es falso)

Pero no estoy seguro acerca de 2)

Si $f(0)=0$ e $f′(x)$ existe para todas las $x$& $f(x)\leq x$ , a continuación, $f′(x)\leq 1$ para todos los $x$?

Por favor, deje un comentario si no te importa :)

Answer 1

Sugerencia: considere $$f(x)=x-A \sin^2 x $ $ para grandes $A$ .

Answer 2

Dibujar la línea de $y=x$, y, a continuación, dibuje cualquier tipo de garabatos función que desea que se mantenga por debajo o toca la línea. En particular, la función de $f(x)=x-e^{-x}$ ha $f'(x)\gt1$ para todos los $x$, mientras que $f(x)=x-{1\over2}x^2$ satisface $f(0)=0$ pero $f'(x)\gt1$ para $x\lt0$.

Nota: La versión original de el OP pregunta en dos partes, con la condición de $f(0)=0$ ser añadido en la segunda parte. La función de $f(x)=x-e^{-x}$, por supuesto, no satisface esa condición.

Answer 3

Vamos por ejemplo a$f(x)=x\sin x$, a continuación, $f(0)=0$ y para cualquier real $x$ $f(x)\leq x$. Entonces la derivada tendrá este aspecto: $f'(x)=\sin x+x\cos x$ y así existen para todos los $x$. Tomando $x=2\pi n$, donde $n$ es entero positivo llegamos $f'(x)=2\pi n$, lo que, evidentemente, no tiene la parte superior de la limitación.