¿Por qué un cono polar es un conjunto cerrado?

Question

Sea $X \subset \mathbb{R}^n$ . Definimos el cono polar como

$$Xº:=\{x\in\mathbb{R}^n\,|\,\langle u,x\rangle\leq 0,\forall u\in X\}$$

¿Cómo puedo demostrar que este conjunto es cerrado?

Si arreglo algunos $u\in X$ entonces tengo que $\{x\in\mathbb{R}^n\,|\,\langle u,x\rangle\leq 0\}$ es un semiespacio cerrado; pero si $X$ es infinito no podemos concluir que la intersección de conjuntos cerrados sea también un conjunto cerrado (en lo que respecta a la topología habitual).

Answer 1

En realidad, tu argumento funciona: $X^0$ es cerrado porque se puede expresar como una intersección de conjuntos cerrados.

Answer 2

si es infinito no podemos concluir que la intersección de conjuntos cerrados sea también un conjunto cerrado (por lo que estamos hablando en términos de topología usual).

Sí que puedes. Uno de los axiomas de la topología es que cualquier La unión de conjuntos abiertos es abierta. (Esto es fácil de demostrar directamente para la topología estándar en un espacio métrico).

Tomando complementos, consigues que cualquier La intersección de conjuntos cerrados es cerrada.