Lanzar el problema de la moneda: lanzamos la moneda simétrica$10$ veces. Calcule la probabilidad de que aparezcan colas al menos cinco veces seguidas.

Question

Tiramos simétrica de la moneda $10$ veces. Calcular la probabilidad de que las colas que aparecen al menos cinco veces en una fila.

He intentado dividiendo por el número de ocasiones (la fila TTTTT observo como un objeto); primer caso exactamente $5$ colas, segundo telefonía exactamente $6$ colas etc. Para el primer caso he decidido separar de los casos, cuando las colas aparecen desde el primer sorteo de la quinta tirar, y cuando aparecen de $i$th tirar a $(i+5)$th tirar, pero cada vez que me quedo atascado en ese caso.

Answer 1

Esto es más fácil de lo que parece! Hay seis mutuamente excluyentes casos:

1. Cinco primeros tiros son Tails: probabilidad = $\frac{1}{32}$
2. Primer lanzamiento es un Jefe, y próximos cinco tiros son Tails: probabilidad = $\frac{1}{64}$
3. Segundo tiro en la Cabeza, y próximos cinco tiros son Tails: probabilidad = $\frac{1}{64}$
4. Tercer tiro en la Cabeza, y próximos cinco tiros son Tails: probabilidad = $\frac{1}{64}$
5. Cuarto tiro en la Cabeza, y próximos cinco tiros son Tails: probabilidad = $\frac{1}{64}$
6. Quinto tiro en la Cabeza, y próximos cinco tiros son Tails: probabilidad = $\frac{1}{64}$

Así que el total de probabilidad es $\frac{7}{64} = 0.109375$.

Tenga en cuenta que este método no funciona si hay más de diez tiros, porque entonces usted tiene que protegerse contra la doble contabilización (por ejemplo, T T T T T H T T T T T).

Answer 2

Puede ser más fácil para encontrar la probabilidad de que una secuencia de cinco colas ¿ no ocurrir.

Hay $2^{10}$ posibles secuencias de lanzar una moneda, todo lo cual suponemos son igualmente probables. Nos gustaría contar el número de secuencias que no contiene una secuencia de cinco colas en una fila.

Una forma de hacerlo es con un conjunto de ecuaciones recursivas. Definir $a_i(n)$ a ser el número de secuencias de $n$ lanzar una moneda que no contienen una racha de cinco colas y que terminan en $i$ colas, por $i=0,1,2,3,4$. Claramente $a_0(1) = a_1(1) = 1$ e $a_i(1) = 0$ para $i=2,3,4$. Cualquier secuencia de $n$ tiros seguidos por una cabeza resultados en una secuencia de $n+1$ tiros que termina en cero colas; así $$a_0(n+1) = a_0(n) + a_1(n) + a_2(n) + a_3(n) + a_4(n) $$ para $n > 1$. La única manera de conseguir $n+1$ tiros que termina en una secuencia de $i$ colas para $i > 0$ es empezar con una secuencia de $n$ lanzamientos de final en $i-1$ colas y, a continuación, obtener una cola en la $(n+1)$th tirar; así $$a_i(n+1) = a_{i-1}(n)$$ para $i=1,2,3,4$ e $n>1$.

El uso de estas ecuaciones y las dadas las condiciones iniciales, podemos calcular el $a_i(n)$ para $0 \le i \le 4$ e $n$ tan grande como queramos. (Es fácil hacerlo en una hoja de cálculo; ver abajo). El número total de secuencias de longitud $n$ que no contengan ninguno de ejecución de cinco colas es, a continuación, $\sum_{i=0}^4 a_i(n)$, y la probabilidad de una secuencia de $$\frac{\sum_{i=0}^4 a_i(n)}{2^n}$$ Estamos interesados en el caso de $n=10$. Por cálculo, nos encontramos con $\sum_{i=0}^4 a_i(10) = 912$, por lo que la probabilidad de que una secuencia de $10$ lanzar una moneda no incluye una secuencia de cinco colas es $912/2^{10}$. La respuesta a la pregunta original, la probabilidad de que una secuencia de $10$ tiros contiene al menos una secuencia de cinco colas, es $$\boxed{1-\frac{912}{2^{10}}}$$

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En este caso no está claro cómo calcular el $a_i(n)$ los valores, aquí están las primeras filas de la hoja de cálculo, que contiene $a_i(n)$ para $0 \le i \le 4$ e $1 \le n \le 5$, sólo para empezar. La primera fila es para $n=1$, el segundo para $n=2$, etc. No se muestra la hoja de cálculo de fórmulas que realizar los cálculos. $$\begin{matrix} 1 &1 &0 &0 &0\\ 2 &1 &1 &0 &0\\ 4 &2 &1 &1 &0\\ 8 &4 &2 &1 &1\\ 16 &8 &4 &2 &1\\ \end{de la matriz}$$

Answer 3

Reconozco que esto probablemente no es el deseado modo de acercarse a este, pero este, sin embargo, de dar a alguien un cheque de su trabajo. Este problema es idéntico. Tenemos que, en general, con una secuencia de $n$ ensayos de Bernoulli cada uno con probabilidad de éxito que se $p$, la probabilidad de obtener al menos $m$ éxitos consecutivos en la secuencia está dada por$$\mathbb{P}(\ell_n \geq m)=\sum_{j=1}^{\lfloor n/m\rfloor} (-1)^{j+1}\left(p+\left({n-jm+1\over j}\right)(1-p)\right){n-jm\choose j-1}p^{jm}(1-p)^{j-1}.$$

With $n=10$, $m=5$, and $p=0.5$ we get

$$\mathbb{P}(\ell_n \geq m)=0.109375$$

As a perhaps cumbersome way of simulating this using R statistical software:

coin <- c("H","T")
count=0
for(i in seq(1,10^6,1)){
  u<-sample(coin,10,repl=T)
  if(u[1]=="T"&u[2]=="T"&u[3]=="T"&u[4]=="T"&u[5]=="T"){count=count+1}
  else if(u[2]=="T"&u[3]=="T"&u[4]=="T"&u[5]=="T"&u[6]=="T"){count=count+1}
  else if(u[3]=="T"&u[4]=="T"&u[5]=="T"&u[6]=="T"&u[7]=="T"){count=count+1}
  else if(u[4]=="T"&u[5]=="T"&u[6]=="T"&u[7]=="T"&u[8]=="T"){count=count+1}
  else if(u[5]=="T"&u[6]=="T"&u[7]=="T"&u[8]=="T"&u[9]=="T"){count=count+1}
  else if(u[6]=="T"&u[7]=="T"&u[8]=="T"&u[9]=="T"&u[10]=="T"){count=count+1}
}

count/10^6

> 0.109379

which is accurate up to $5$ el número de decimales.

Answer 4

Para complementar las otras respuestas, usted puede hacer volver atrás a por lo menos saber lo que la solución va a ser. Ha sido un tiempo desde que he programado en C++, por lo que me he encontrado este problema es una buena excusa para recordar cómo hacer algunas cosas. El código es

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cmath>
using namespace std;

typedef vector<int> VE;

VE c; 
int n, count;


void f(int i, int consec, bool b){
    if (i == 10) {
        if (consec == n) b = true;
        if (consec <= n and b){
            ++count;
            //for (int j = 0; j < 10; ++j) cout << c[j] << ' ';
            //cout << endl;
        }
        return;
    }
    if (consec > n) return;
    if (consec == n) b = true;
    c[i] = 1;
    f(i+1, consec+1, b);
    c[i] = 0;
    f(i+1, 0, b);
    return;
}

int main(){
    int total = 0;
    for (int i = 0; i <= 4; ++i){
        c = VE(10);
        n = i; count = 0;
        f(0,0, false);
        total += count;
    }
    cout << 1 - total/pow(2,10) << endl;
}

El resultado es $0.109375$

La función busca cómo muchas de las secuencias de ha $n$ colas que aparecen en una fila (y no más).

En general, nos encontramos con $1 - P$(una secuencia de cinco o más colas no ocurre), por lo que vamos a llamar a la función para $n=1,2,3,4$.