Aquí está mi intento.
La desigualdad anterior es equivalente a $$|m^{\frac{1}{n}} - n^{\frac{1}{m}}|> \frac{1}{mn}$$ en Primer lugar, me quiero deshacer de el valor absoluto.
Suponer sin pérdida de generalidad que $m>n$. A continuación, $m^m > n^n$. La recaudación de este desigualdad en el poder de la $\frac{1}{mn}$ me da $m^{\frac{1}{n}} > n^{\frac{1}{m}}$.
Siguiente, quiero arreglar todo lo que se parece a $n^{\frac1n}-m^{\frac1m}$($m$ va con $m$, $n$ va con $n$ $-$ que es más fácil para tener en cuenta). Por eso, yo sé cuando la función de $f(x) = x^{\frac1x}$ está disminuyendo. Como $f'(x) = (e^{\frac1x \cdot \ln{x}})' = x^{\frac1x - 2}\cdot (1- \ln{x})$, está claro que $f(x)$ es la disminución en el rayo $[e;+\infty )$. Así, considere la posibilidad de $m$, $n$ $\geq 3$. (Otros casos se puede comprobar numéricamente.)
Así, $m>n$, a continuación, $m^{\frac{1}{n}} > n^{\frac{1}{n}}$. Al mismo tiempo, $n^{\frac{1}{m}} < m^{\frac{1}{m}}$ $\Rightarrow$ $-n^{\frac{1}{m}} > -m^{\frac{1}{m}}$. Sumando estos dos desigualdades que me da $$m^{\frac{1}{n}} - n^{\frac{1}{m}} > n^{\frac{1}{n}} - m^{\frac{1}{m}} > 0$$ En segundo lugar, quiero utilizar el hecho de que $m$ e $n$ son naturales. Como $m>n$, a continuación, $m-n\geq 1$. Dividiendo por $mn$ me da $$\frac{m-n}{mn} = \frac1n - \frac1m \geq \frac1{mn}$$ Ahora sólo tengo que probar esto: $$n^{\frac{1}{n}} - m^{\frac{1}{m}} > \frac1n - \frac1m$$ O, de manera equivalente, $$ n^{\frac{1}{n}} - \frac1n > m^{\frac{1}{m}} - \frac1m$$ Así, considere la función $g(x) = x^{\frac1x} - \frac1x $. Quiero mostrar que es decreciente, comenzando en un punto. Tomando la derivada no hace nada bueno: $g'(x) = \frac1{x^2} \cdot (x^{\frac1x} - \ln{x} \cdot x^{\frac1x} + 1)$, y soy incapaz de encontrar los ceros de la misma. WolframAlpha dice que $g(x)$ es, de hecho, la disminución de $x\approx 5.677$, y eso es bueno, siempre se puede comprobar la respuesta de $m$, $n$ $\leq 5$. Sin embargo, esta no es una solución satisfactoria.
