Parece que aquí se habla de los exts locales, es decir, de las gavillas $\underline{Ext}^{i}(A,G_m)$ en $S$ . La pregunta es bastante complicada en realidad. El problema es que antes de intentar responderla, deberíamos especificar qué entendemos por $\underline{Ext}^{i}(A,G_m)$ . Podríamos referirnos a exts en la categoría de gavillas de grupos abelianos en la topología plana sobre $S$ , o podríamos referirnos a exts en la categoría de esquemas de grupos conmutativos. Esta última no es una categoría abeliana, por lo que hay que hacer algo antes de poder definir los exts. Sin embargo, es posible hacerlo. La teoría estándar es utilizar los exts de Yoneda. Esto se lleva a cabo en detalle en el libro LNM 15 de Oort. Entre otras cosas, Oort comprueba que si $S$ es el espectro de un campo algebraicamente cerrado, entonces las extensiones son todas cero para $i \geq 2$ .
En cuanto a los regímenes generales de base, la situación es más delicada. En primer lugar, hay ejemplos de Larry Breen que demuestran que las extensiones en la categoría de tramas de grupos abelianos son estrictamente mayores que las extensiones en la categoría de esquemas de grupos conmutativos. En su tesis
Breen, Lawrence Extensiones de gavillas abelianas y álgebras de Eilenberg-MacLane. Invent. Math. 9 1969/1970 15--44.
Breen también demostró que sobre una base regular de esquemas noetherianos los grupos ext globales (en cualquier categoría) son de torsión si $i \geq 2$ . Más adelante en
Breen, Lawrence Un teorema de cancelación para algunos $E{\rm xt}\sp{i}$ de haces abelianos. Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 8 (1975), nº 3, 339--352.
reforzó su resultado para demostrar que las gavillas de exts superiores son siempre cero para $1 < i < 2p-1$ , donde $p$ es un primo menor que el residuo característico (positivo) de cualquier punto cerrado en $S$ .
