Probando esta identidad de suma

Question

Así que me he encontrado con este:

$$\forall n\in\mathbb{N},\sum\limits_{k=0}^{n}\left[{2k\choose k}{2\left(n-k\right)\choose n-k}\right]^2=\sum\limits_{k=0}^{\left\lfloor{\frac{n}{2}}\right\rfloor}\left(-1\right)^k16^k{n-k \choose k}{2\left(n-k\right)\choose n-k}^3$ $ Se ve bien, pero como no estoy muy familiarizado con la combinatoria, no tengo ni idea de cómo probarlo.

Qué sugieres ?

Answer 1

No una respuesta, pero demasiado largo para un comentario. El Arce sumtools el paquete de características de una aplicación de Zeilberger del algoritmo, exportados a través de la sumrecursion comando. Esto producirá el mismo la recurrencia de la LHS y RHS. A continuación, sólo tenemos que comprobar los dos los valores iniciales. Esta es la transcripción de Arce.

> con(sumtools);
[Hypersum, Sumtohyper, extended_gosper, gosper, hyperrecursion, hypersum,

 hyperterm, simpcomb, sumrecursion, sumtohyper]

> sumrecursion(binomial(2*k,k)^2*binomial(2*n-2*k,n-k)^2, k,S(n));
 3 2 3
 256 (n - 1) S(-2 + n) - 8 (2 n - 1) (2 n - 2 n + 1) S(n - 1) + S(n) n

> sumrecursion((-1)^k*16^k*binomial(n-k,k)*binomial(2*n-2*k,n-k)^3, k, S(n));
 3 2 3
 256 (n - 1) S(-2 + n) - 8 (2 n - 1) (2 n - 2 n + 1) S(n - 1) + S(n) n

> A := n -> add(binomial(2*k,k)^2*binomial(2*n-2*k,n-k)^2, k=0..n);
 2 2
 A := n -> add(binomial(2 k, k) binomial(2 n - 2 k, n - k) , k = 0 .. n)

> seq(A(n), n=1..5);
 8, 88, 1088, 14296, 195008

> B := n -> add((-1)^k*16^k*binomial(n-k,k)*binomial(2*n-2*k,n-k)^3, k=0..n);
B := n ->

 k k 3
 agregar((-1) 16 binomial(n - k, k) binomial(2 n - 2 k, n - k) , k = 0 .. n)

> seq(B(n), n=1..5);
 8, 88, 1088, 14296, 195008

El común de la recurrencia es

$$256\, \a la izquierda( n-1 \right) ^{3} \left( n-2 \right) -8\, \left( 2\,n-1 \right) \left( 2\,{n}^{2}-2\n+1 \right) \left( n-1 \right) +S \left( n \right) {n}^{3} = 0.$$

Este es un clásico ejemplo en el prólogo del libro , A=B,por Petkovsek, Wilf, y Zeilberger, e identificado como tal en OEIS A036917.