muestre esto ya sea$m=k^2$ o$m = 5k^2$ para algún entero$k$.

Question

Deje $f(x)$ ser la distancia de $x$ a la más cercana cuadrado perfecto. Por ejemplo, $f(\pi) = 4 - \pi$. Deje $\alpha = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ y deje $m$ ser un entero tal que la secuencia de $a_n = f(m \; \alpha^n)$ está acotada. Demostrar que $m=k^2$ o $m = 5k^2$ para algunos entero $k$.

Este problema: El 58º de la OMI en el 2017 se ha cargado en la historia de la OMI con su dificultad alta y baja puntuación. La OMI establece un número de registros a partir de la reestructuración en 1983, incluyendo la más baja puntuación total(170 puntos), la más baja puntuación personal(35 puntos) y el más bajo de oro puntuación(25 puntos). Sólo 2 de los más difíciles de 3 preguntas anotó todos los puntos. La puntuación total de 615 jugadores en 111 países participantes de todo el mundo fue de sólo 26 puntos, con una puntuación media de 0.042 puntos. El top 10 de los países anotó un total de 6 puntos en esta pregunta. Después del partido, un jugador Brasileño Dave Sena, quien ganó una medalla de plata con 19 puntos, propuso el "IMO Venganza" para expresar su respeto por los profesores y su "venganza". Él recogió las preguntas de la OMI a los jugadores y seleccionado cuatro preguntas como prueba de preguntas. Invitar y animar a los líderes del equipo, adjunto del equipo de líderes y observadores a participar. Como resultado, la iniciativa recibió una gran respuesta positiva por parte de la OMI de los jugadores y del equipo de líderes.

Answer 1

Las soluciones a este problema son proporcionados en el comentado enlace. Esta respuesta es para demostrar poco más en el contexto de Pisot-Vijayaraghavan número.

La función de $f(x)$ puede ser escrito como $$ f(m\alpha^n)=\min_{z\in\mathbb{Z}}|(z-\sqrt m \beta^n)(z+\sqrt m\beta^n)|$$ $$=\begin{cases} \|\sqrt m \beta^n \| 2\sqrt m \beta^n + O(1) &\mbox{ in all cases,} \\ \| \sqrt m \beta^n\|(\epsilon_{m,n}\|\sqrt m \beta^n\|+2\sqrt m \beta^n) &\mbox{ if %#%#% as %#%#%} \end{casos}. $$ donde $\|\sqrt m \beta^n\|\rightarrow 0$ e $n\rightarrow \infty$, $\beta=\frac{1+\sqrt 5}2$ es la distancia desde $\overline{\beta}=\frac{1-\sqrt 5}2$ al entero más cercano a $\|x\|$. Aquí, $x$. El implícita constante en el big-Oh, es en la mayoría de las $x$.

Para $\epsilon_{m,n}=\pm 1$ a ser delimitada, debemos tener $1/4$ como $f(m\alpha^n)$. Esto es debido a que $\|\sqrt m \beta^n\|\rightarrow 0$, $n\rightarrow \infty$.

Por uno de los teorema que la wiki enlace, debemos tener $\beta^n\rightarrow\infty$. Esto es sólo cuando $\overline{\beta}^n\rightarrow 0$ o $\sqrt m \in \mathbb{Q}(\sqrt 5)$.

Por el contrario, asumimos $m=k^2$ o $m=5k^2$. Entonces tenemos $$ \|\sqrt m \beta^n\|=\sqrt m |\overline{\beta}^n| $$ desde $m=k^2$ si $m=5k^2$, e $\sqrt m \beta^n+\sqrt m \overline{\beta}^n \in \mathbb{Z}$ si $m=k^2$.

Ahora, por $\sqrt m \beta^n-\sqrt m \overline{\beta}^n\in\mathbb{Z}$, $$ f(m\alpha^n)=\| \sqrt m \beta^n\|(\epsilon_{m,n}\|\sqrt m \beta^n\|+2\sqrt m \beta^n)\rightarrow 2m \ \textrm{como} \ n\rightarrow\infty. $$