Relación entre independencia y correlación de variables aleatorias uniformes.

Question

Mi pregunta es bastante simple: vamos a $X$ e $Y$ dos no uniforme de las variables aleatorias en $[-1,1]$. Son independientes?

Yo estaba bajo la impresión de que por azar, la no correlación de las variables sólo son necesariamente independientes si su distribución conjunta es normal. Sin embargo, yo no puedo venir para arriba con un contraejemplo para refutar la reclamación estoy preguntando acerca de. Por favor proporcione un contraejemplo o una prueba.

Answer 1

Independiente implica la no correlación, pero la implicación de no ir por el otro camino.

No implica independencia sólo bajo ciertas condiciones. por ejemplo, si usted tiene un bivariante normal, es el caso de que no implica independiente (como se dijo).

Es fácil construir distribuciones bivariadas con el uniforme de los márgenes en los que las variables no están correlacionadas, pero no son independientes. Aquí están algunos ejemplos:

1. considere la posibilidad de un adicional de la variable aleatoria $B$ que toma los valores de $\pm 1$ cada uno con una probabilidad de $\frac12$, independiente de $X$. A continuación, vamos a $Y=BX$.

2. tome la distribución bivariante de dos independientes uniformes y córtalo en 4 de igual tamaño secciones en cada margen de rendimiento $4\times 4=16$ piezas, cada una de tamaño $\frac12\times\frac12$). Ahora toma todo de la probabilidad a partir de los 4 pedazos de la esquina y el 4 piezas de centro y puesto de manera uniforme en los otros 8 piezas.

3. Deje $Y = 2|X|-1$.

En cada caso, las variables no están correlacionadas, pero no independiente (por ejemplo, si $X=1$, lo $P(-0.1<Y<0.1)\,$?)

Si se especifica alguna particular de la familia de distribuciones bivariadas con el uniforme de los márgenes de lo que podría ser posible que en virtud de que la formulación de la única correlación uno es independiente. Luego de estar no correlacionados implicaría la independencia.

Por ejemplo, si desea restringir su atención a decir la cópula Gaussiana, entonces creo que la única correlación uno independiente de los márgenes; usted puede fácilmente cambiar la escala de modo que cada margen es en (-1,1).

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Algunas código R para el muestreo y el trazado de estas bivariates (no necesariamente eficiente):

n <- 100000
x <- runif(n,-1,1)
b <- rbinom(n,1,.5)*2-1
y1 <-b*x
y2 <-ifelse(0.5<abs(x)&abs(x)<1,
       runif(n,-.5,.5),
       runif(n,0.5,1)*b
      )
y3 <- 2*abs(x)-1

par(mfrow=c(1,3))
plot(x,y1,pch=16,cex=.3,col=rgb(.5,.5,.5,.5))
plot(x,y2,pch=16,cex=.5,col=rgb(.5,.5,.5,.5))
abline(h=c(-1,-.5,0,.5,1),col=4,lty=3)
abline(v=c(-1,-.5,0,.5,1),col=4,lty=3)
plot(x,y3,pch=16,cex=.3,col=rgb(.5,.5,.5,.5))

(En esta formulación, $(Y_2, Y_3)$ da un cuarto ejemplo)

[Por cierto, mediante la transformación de todos estos a la normalidad (es decir, la transformación de $X$ a $\Phi^{-1}(\frac12(X+1))$ y así sucesivamente), se obtiene ejemplos de correlación normal de las variables aleatorias que no son independientes. Naturalmente, ellos no son conjuntamente normal.]