Funciones propias de los métodos de Runge-Lenz vector

Question

El hamiltoniano para el átomo de hidrógeno, $$ H = \frac{\mathbf{p}^2}{2m} - \frac{k}{r} $$ es esféricamente simétrica y por lo tanto los desplazamientos con el momento angular $\mathbf{L}$; esto hace que todas sus funciones propias con igual ímpetu angular número $l$ pero arbitraria de números cuánticos magnéticos $m$ a degenerar en energía.

El átomo de hidrógeno también tiene una mayor degeneración, en que, dado cualquier momento angular generalmente hay otros $l$s con la misma energía. Esta degeneración se debe a la existencia de una segunda constante de movimiento, generalmente se llama la de Laplace-método de Runge-Lenzvector, $$ \mathbf{A} = \frac{1}{2m} ( \mathbf{p} \times \mathbf{L} - \mathbf{L} \times \mathbf{p}) - k \frac{\mathbf{r}}{r}, $$ que es el generador de un mayor simetría, que es isomorfo a la envolvente de los estados para el grupo $\rm{SO}(4)$ de las rotaciones en las cuatro dimensiones, de la Kepler problema.

Los métodos de Runge-Lenz vector también tiene una rica interpretación geométrica. Para una clásica órbita elíptica, puntos desde el enfoque de la periapsis y su magnitud es proporcional a la órbita de la excentricidad. Para órbitas circulares, se desvanece.

^{Fuente de la imagen: Wikipedia}

El átomo de hidrógeno se describe generalmente en el común eigenbasis de los hamiltonianos y el momento angular, con el bien conocido y amado números cuánticos $|nlm\rangle$. Sin embargo, el método de Runge-Lenz vector $\mathbf{A}$ es también una constante del movimiento.

¿Qué sus funciones propias?

Más concretamente, estoy buscando la estructura espacial de las funciones propias comunes de $H$ y al menos un componente de $\mathbf A$, y posiblemente también de $A^2$ (que, en analogía con el común de funciones propias de $H$, $L^2$ y $L_z$, es el que más se podía esperar), y si eso no es posible, a continuación, una explicación de por qué, y una descripción adecuada de la tercera números cuánticos para completar un CSCO. Me gustaría saber lo que sus correspondientes autovalores son, y lo que la incertidumbre de los otros componentes, es decir, si uno puede asignar un clásico de la excentricidad de la órbita, y, en general, en relación a los correspondientes a la geometría clásica.

Answer 1

Tu comentario me inspiró a hacer algunos indican en Mathematica :)

A raíz de la discusión en el Capítulo 14 de Robert Gilmore "Mentira Grupos, la Física y la Geometría", los autoestados son dadas por los estados $SU(2) \times SU(2)$ estados con números cuánticos $|j_1 , m_1 ; j_2 , m_2\rangle$ con la condición adicional de $j_1 = j_2$. (Tenga en cuenta que el radial es irrelevante para la discusión). Los generadores de los dos $SU(2)$:s, están dadas por $\mathbf{J}_1 = \frac{1}{2}(\mathbf{L} + \mathbf{A}')$$\mathbf{J}_2 = \frac{1}{2}(\mathbf{L} - \mathbf{A}')$, donde $$\mathbf{A}' = \sqrt{-\frac{m}{2H}} \mathbf{A}$$ El estado $|j_1 , m_1 ; j_2 , m_2\rangle$ a continuación, tiene los autovalores $j_1(j_1+1)$ $j_2(j_2+1)$ bajo$\mathbf{J}_1^2$$\mathbf{J}_2^2$, respectivamente, mientras que $m_1$ $m_2$ son los valores propios en virtud de la $z$-componentes de $\mathbf{J}_1$$\mathbf{J}_2$.

Es sencillo para descomponer un estado en términos de autoestados de la diagonal $SU(2)$ simetría correspondiente a momentum angular, con los coeficientes de ser el estándar de Clebsch-Gordan coeficientes. Es bastante tedius hacer esto a mano, pero por suerte puede ser totalmente automatizado mediante el uso de Mathematica. El siguiente código crea el eigenstate $|J,M_1;J,M_2\rangle$ en términos de armónicos esféricos (la advertencia se produce a veces son esperemos que nada grave).

eigenstate[J_, M1_, M2_] := Sum[ClebschGordan[{J, M1}, {J, M2}, {j, M1 + M2}]
    SphericalHarmonicY[j, M1 + M2, \[Theta], \[Phi]], {j, 0, 2 J}]

Ahora sólo hay que imprimirlos utilizando, por ejemplo, el código de

SphericalPlot3D[Abs[eigenstate[1, 1, -1]]^2, {\[Theta], 0, \[Pi]}, {\[Phi], 0, 2 \[Pi]}, 
    PlotRange -> {{-0.25, 0.25}, {-0.25, 0.25}, {-0.7, 0.7}}]

Esto produce el siguiente diagrama para la distribución de probabilidad en el estado $|1,1;1,-1\rangle$:

Aquí están los estados $|1/2,-1/2;1/2,1/2\rangle$ $|1,1;1,0\rangle$, $|1,0;1,0\rangle$ y $|1,0;1,1\rangle$:

El cuarto estado es el reflejo de la segunda. Tenga en cuenta que los ejes en la primera de ellas son un poco diferentes que los de las otras tres.

Mientras que es fácil hacer más parcelas, es más divertido jugar con ellos en Mathematica donde se puede rotar y más fácil ver los detalles.

Answer 2

Creo que no tiene sentido preguntar por funciones propias de los métodos de Runge-Lenz vector. La razón es que el colector de los dos componentes de los métodos de Runge-Lenz vector, $[A_x,A_y]$ es proporcional a $L_z$. Lo mejor que uno puede hacer es exigir a ser un eigenfunction de cualquiera de los componentes, decir $A_z$ junto con los dos Casimirs $J_1^2$$J_2^2$. Así Olof la respuesta de arriba es el mejor que uno puede hacer. Es un sencillo, posiblemente tedioso, ejercicio para calcular la expectativa de valor de $\langle A_x\rangle$ en cualquiera de estos estados. El principio de incertidumbre generalizada (aka Robertson-Schrödinger relación) puede ser utilizada para estimar el $\Delta A_x \Delta A_y$ en cualquier estado.