Supongamos $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ es Borel medible. Quiero mostrar que la $\displaystyle \int_a^b f(x)\mathrm dx=0$ todos los $-\infty<a<b<\infty$ $a$ $b$ racional implica que $f=0$.e. Realmente no estoy seguro de cómo abordar este problema; cualquier ayuda sería bienvenida.
Respuesta
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Michael Hardy
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Si es cierto de todos racional $a<b$, entonces es verdadero de todo real $a<b$. Pick racional $a_n\uparrow a$ y racional $b_n\downarrow b$ y ver el $f\cdot 1_{(a_n,b_n)}$ donde $1_S$ es el indicador de la función del conjunto $S$. Esto converge pointwise a $f\cdot1_{(a,b)}$, y dominado convergencia puede ser utilizado, donde domina la función es $|f\cdot 1_{(a_1,b_1)}|$.
Más tarde edit: a raíz de una sugerencia en los comentarios, voy a añadir este apéndice de mi respuesta. "Recall" (?) que:
La integral de Lebesgue $\int f$ de cualquier valor no negativo medibles función existe y es $\infty$ o de un número finito.
Cualquier función medible $f$ puede ser escrita como una suma $f^+ - f^-$ de positivos y negativos de piezas de $f^+$ $f^-$ donde $f^+(x) = f(x)$ si $f(x) \ge 0$ $f^+(x) = 0$ si $f(x) < 0$, y de la misma manera $f^-(x)= -f(x) > 0$ si $f(x) < 0$ $f^-(x) = 0$ si $f(x)>0$. La integral de Lebesgue $\int f$ se define como $\int f^+ - \int f^-$, siempre que estos no son infinitos. $f$ dijo ser integrable con precisión si ambas integrales son finitos. Que es lo mismo que decir $\int|f| < \infty$.
