Estoy tratando de encontrar una secuencia de Cauchy que no convergen en este espacio. Mi intento es $f_n = \sqrt{x^2+\frac{1}{n}}$, pero no sé cómo demostrarlo. También, ¿cuál sería la culminación de este espacio? Tengo la sensación de que debe ser el espacio de absoluta funciones continuas ya que tenemos algo que es diferenciable, pero yo todavía no sé cómo probar esto.
Respuesta
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Voy a asumir que usted sabe $L^1[a,b]$ $C[a,b]$ completa los espacios.
Deje $\mathcal{AC}[a,b]$ denota el conjunto de funciones continuas en $[a,b]$, equipado con la norma $$ \|f\| = \int_{a}^{b}|f(t)|+|f'(t)|dt. $$ Primero les voy a mostrar que $\mathcal{AC}[a,b]$ es completa. Para este fin, se nota que $$ (x-a)f(x) = (t-a)f(t)|_{t=a}^{x}=\int_{a}^{x}f(t)+(t-a)f'(t)dt \\ (x-b)f(x) = (t-b)f(t)|_{t=b}^{x}=\int_{b}^{x}f(t)+(t-b)f'(t)dt. $$ Restando las dos da $$ (b-a)|f(x)| \le \int_{a}^{b}|f(t)|+(b-a)|f'(t)|dt \le(1+(b-a))\|f\|\\ \|f\|_{C[a,b]} \le \frac{1+(b-a)}{b}\|f\|. $$ Por lo tanto, si $\{ f_n \}\subset\mathcal{AC}[a,b]$ es una secuencia de Cauchy, entonces $\{ f_n \}$ es una secuencia de Cauchy en $C[a,b]$, e $\{ f_n'\}$ es una secuencia de Cauchy en $L^1[a,b]$. Por lo tanto, $f_n$ converge uniformemente a algunos $f\in C[a,b]$ $\{f_n'\}$ converge a algunos $g\in L^1$. A continuación, $$ f_n(x)=f_n(a)+\int_{a}^{x}f_n'(t)dt \implica f(x)=f(a)+\int_{a}^{x}g(t)dt, $$ lo que implica que $f$ es absolutamente continua con $f'=g$.e.. Así que, \begin{align} \|f_n-f\| & \le \|f_n-f\|_{L^1}+\|f_n'-g\|_{L^1} \\ & \le (b-a)\|f_n-f\|_{C[a,b]}+\|f_n'-g\|_{L^1}\rightarrow 0 \end{align} Por lo $\mathcal{AC}[a,b]$ es completa.
Para mostrar que $\mathcal{AC}[a,b]$ es la culminación de su espacio, necesitamos algún tipo de densidad de argumento para $L^1[a,b]$. Por ejemplo, supongamos $f\in\mathcal{AC}[a,b]$, y supongamos que se sabe que hay una secuencia de polinomios $\{ p_n \}$ tal que $\|f'-p_n\|_{L^1[a,b]}\rightarrow 0$$n\rightarrow\infty$. A continuación, defina los $$ g_n(x)=f(a)+\int_{a}^{x}p_n(t)dt. $$ A continuación se muestra que $\{ g_n \}\subset\mathcal{AC}[a,b]$ converge a la $f\in \mathcal{AC}[a,b]$ en la norma de $\mathcal{AC}[a,b]$, lo que demuestra su espacio es denso en $\mathcal{AC}[a,b]$, y, por lo tanto, es la culminación de su espacio de $X$. Para ello, tenga en cuenta que $$ |f(x)-g_n(x)| = \left|\int_{a}^{x}(f'-p_n)dt\right| \le \|f'-p_n\|_{L^1} \\ \|f-g_n\|_{L^1} \le (b-a)\|f'-p_n\|_{L^1}. $$ Por lo tanto, \begin{align} \|f-g_n\| & \le \|f-g_n\|_{L^1}+\|f'-g_n'\|_{L^1} \\ & \le \{(b-a)+1\}\|f'-p_n\|_{L^1}\rightarrow 0. \end{align} Por lo tanto, $\mathcal{AC}[a,b]$ es completa; su espacio de $X$ $\mathcal{AC}[a,b]$ norma; y $X$ es denso en $\mathcal{A}[a,b]$. Por lo $\mathcal{AC}[a,b]$ es la culminación de su espacio de $X$.
