$\mathbb C^2\setminus\{p_1,p_2\}$ no es un espacio homogéneo

Question

¿Por qué la variedad compleja$\mathbb C^2\setminus\{p_1,p_2\}$ no es homogénea donde$p_1,p_2\in \mathbb C^2$ son distintos? Me refiero a quién para demostrar que no existe un grupo de mentiras complejo que se comporte de forma holomorfológica y transitoria en$\mathbb C^2\setminus\{p_1,p_2\}$?

Answer 1

Vamos a escribir $M=\mathbb C^2\setminus \{p_1,p_2\}$.
El uso de un adecuado invertible transformación afín a podemos asumir que $p_1=(0,0)$ $p_2=(1,0).$
a) El $2$- dimensiones de la Mentira de grupo $G$ de los invertible matrices de la forma $\begin {pmatrix} 1&b\\0&a\end {pmatrix} \\$ $(a,b\in \mathbb C, a\neq 0)$ luego actúa en el colector $M$ porque actúa en $\mathbb C^2$ mientras que la fijación de $p_1$$p_2$.
Esa acción en $M$ es transitiva en el subconjunto $M_0=\{(z,w)\in \mathbb C^2\vert w\neq 0\}\subset M$ pero por desgracia fija todos los puntos de $(z,0)$.
b) Para remediar este defecto se introduce el grupo $H=(\mathbb C,+)$ actuando en $M$ a través de $$t\cdot (z,w)=(z,w+tz(z-1))$$ Esto nos permite enviar biholomorphically cualquier punto de $M$ $z$- eje a un punto de no en el $z$-eje. c) que Componen automorfismos de los tipos a) y b) vemos que la biholomorphic automorfismos de a $M$ act transitivamente en $M$.
Sin embargo no sé cómo combinar las acciones de $G$ $H$ a una acción de un complejo de Lie del grupo de automorfismos de a $M$.

Answer 2

Edit: he metido la pata y se perdió/misremembered un importante cerrada de la asunción en la definición de forma racional elíptica espacios. Creo que esto podría ser todavía de salvamento, pero no es correcto como está escrito.

Simplemente conectado a espacios homogéneos son racionalmente elíptica. Racionalmente elíptica espacios positivos característica de Euler. Desde característica de Euler es un homotopy invariante, es suficiente con considerar la característica de Euler de una cuña de dos $S^3$s, ya que este es homotopy-equivalente a $\mathbb{C}^2\setminus \{p_1,p_2\}$. Pero este espacio tiene una característica de Euler de $-1$. Por lo $\mathbb{C}^2\setminus \{p_1,p_2\}$ no puede ser homogénea.