¿Por qué Volumen^2 en la mayoría de los productos de las 3 proyecciones?

Question

Hay una prueba simple para $$ \text{Vol}^2(P)\le \prod_{i=x,y,z} \text{Área}(\text{Value}_i(P)), $$ donde $P\subset \mathbb R^3$ $\text{Proj}_z(P)$ denota la proyección de $P$ $z=0$ avión?

Tengo una complicada prueba de esto (en cualquier dimensión) el uso de los turnos, pero me pregunto si esta desigualdad es algo bien conocido/simple.

Answer 1

Este es un caso especial de la Loomis-Whitney de la desigualdad. En primer lugar, algunos datos biográficos:

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• Lynn Harold Loomis , un analista. Obtuvo su Doctorado bajo Salomon Bochner en la universidad de Harvard en 1942. Más tarde iba a enseñar en la misma escuela. Él co-aurthored Cálculo Avanzado con Shlomo Sternberg.
• Hassler Whitney fue un reconocido topologist. Él vino de un lugar aprendido de la familia en la Ciudad de Nueva York, estudió en la universidad de Yale, donde obtuvo los grados en Física y Música.

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La Loomis Desigualdad aparece en Una Desigualdad asociada a la Desigualdad Isoperimétrico. El resultado de los estados:

Deje $m$ ser la medida de un subconjunto abierto de Euclídea $n$-espacio, $O \in \mathbb{R}^n$. Deje $m_1, \dots, m_n$ $(n-1)$- dimensiones medidas de las proyecciones de coordinar hyperplanes. A continuación, $m^{n-1} \leq m_1\dots m_n$

Podemos tomar $n=3$. La Loomis-Whitney papel es de 2 páginas y vamos a resumir aquí:

• Paso 1 Reducir a un recuento problema:

  Deje $S$ ser un conjunto de cubos de la cúbica de la subdivisión de $n$-espacio y deje $S_i$ el conjunto de $n$-cubos mediante la proyección de los cubos de $S$ a de la $i$th coordinar hyperplane. Deje $N$ el número de cubos en $S$ $N_i$ el número de cubos en $N_i$ $N^{n-1} \leq N_1 \dots N_n$

• Este cúbicos apprxoximation obras, ya que el número de cubos es una buena aproximación para el volumen o la "medida" de la set $S$. Acabamos de establecer los cubos de tamaño $\delta$ y recuento.

• Paso 2 ¿Cómo podemos probar que el anterior lema? La prueba es por inducción sobre el número de dimensiones:

  • Los cubos proyecto en intervalos de $I_1, \dots, I_k$ si tenemos en proyecto para el primer eje. Aquí $k$ puede ser muy grande conjunto de intervalos.
  • Para cada intervalo de $I_i$, vamos a $T_i$ el conjunto de cubos que se proyectan en $T_i$. Deje $T_{i \to j}$ ser la proyección de $T_i$ a de la $j$-th hyperplane.
  • Deje $a_i$ el número de cubos en $T_i$. Podemos contar los cubos de modo que $$ \begin{align} \sum_{i=1}^k a_i = N \\ \sum_{i=1}^k a_{i \to j} = N_j \end{align}$$ y por hipótesis de inducción $a_i^{n-2} \leq a_{i \to 2} \dots a_{i \to n}$, lo que implica $a_i^{n-1} \leq N_i a_{i \to 2} \dots a_{i \to n}$
  • El último paso de la siguiente manera a partir de Hölder la desigualdad ...

Answer 2

Como yo he aprendido de Gabor Tardos (y Pedro Csikvari) esto es bien conocido y se puede demostrar fácilmente mediante el submodularity de la entropía. Primero vamos a reducir el problema para el caso finito mediante la aproximación de $P$ por una colección de cubos. Entonces vamos a seleccionar un cubo uniformemente al azar y denotar su $i$-ésima coordenada por $X_i$. Tenemos $$\log Vol^2(P)=H(X_1,X_2,X_3)+H(X_1,X_2,X_3)\le H(X_1,X_2)+H(X_1,X_3)-H(X_1)+H(X_1,X_2,X_3)\le H(X_1,X_2)+H(X_1,X_3)+H(X_2,X_3)\le \Pi_{i=x,y,z} Area(Proj_i(P)).$$