Demostrar que una ecuación es siempre falsa

Question

¿Cómo puedo demostrar que una ecuación es siempre falsa?

Por ejemplo:

$b = b + 1$

es falso para todos los valores de $b$ . Muy sencillo de ver.

Ahora, dada una ecuación más complicada, como:

$b = \sin(\sin(b) - 0.56)$

¿Cómo puedo demostrar que algún valor de $b$ satisface (o no) la ecuación? ¿Para todas las ecuaciones y no sólo para ésta?

AKA: No estoy tratando de encontrar un valor de $b$ , sólo si alguna $b$ puede satisfacer la ecuación.

Answer 1

Pues no es tan sencillo demostrar que si hay o no hay soluciones para cada ecuación. Piensa en el último teorema de Fermat, que tardó unos 300 años en resolverse. De todas formas en esta situación quiero utilizar el método de la contraposición (contradicción). Digamos que hay una solución b a la ecuación, entonces encontrar alguna otra identidad verdadera (como b debe estar dentro de algún rango, b debe ser un cuadrado o así) que contradiga la suposición inicial de que existe tal solución.

BTW, no podrá hacerlo por su ecuación, ya que existe tal solución. $b \approx -0.98$ será una solución según WolframAlpha

Answer 2

En general, la cuestión es complicada. Aunque la mayoría de los matemáticos creen que la mente humana puede decidir la satisfabilidad de cualquiera de estas ecuaciones (siempre que se pueda decidir en ZFC), hay resultados conocidos de que no se puede hacer algorítmicamente. Dos ejemplos:

• La satisfacción de los sistemas de ecuaciones cuadráticas sobre números enteros es indecidible desde el punto de vista algorítmico (se trata de una simple reducción de Matiyasevich's teorema de indecidibilidad)
• Satisfacción de un ecuación en un variable real es (algorítmicamente) indecidible, si las ecuaciones pueden contener combinaciones arbitrarias de polinomios, la función sin y $\pi$ . ( Wang: La indecidibilidad de la existencia de ceros de funciones reales elementales )