dados dos vectores complejos, ¿cuál es la interpretación geométrica de su producto puntual?
PS
¿Hay alguna interpretación similar al caso con vectores reales basados en la proyección de un vector sobre otro o similar?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Si ${\bf x}={\bf a}+{\bf b}i$, ${\bf y}={\bf c}+{\bf d}i$ en $C^n$, definir vectores ${\bf u}=({\bf a},{\bf b})$, ${\bf v}=({\bf c},{\bf d})$, ${\bf w}=(-{\bf d},{\bf c})$ $R^{2n}$. Entonces $$ {\bf x}\cdot {\bf y} = {\bf u}\cdot {\bf v}+i{\bf u}\cdot {\bf w} $$ de modo que las partes real e imaginaria de ${\bf x}\cdot {\bf y}$ tienen exactamente las interpretaciones geométricas que están familiarizados con, tal como se aplica a ${\bf u}$, ${\bf v}$ y ${\bf w}$ donde ${\bf w}$ es una rotación de ${\bf v}$.
Pero creo que es mejor separar algunos de los conceptos un poco. Si tomamos la "geometría" para referirse a los conceptos de distancia y el ángulo, entonces la proyección va más allá de la geometría, porque implica combinaciones lineales; realmente no el proyecto de un vector un vector, en lugar de eso nos proyectamos a un subespacio. Y, si bien es cierto que la proyección de ${\bf x}$ en el período de ${\bf y}$ $C^n$ da la punto de la subespacio más cercano a ${\bf x}$, la palabra a centrar en no tanto "lo más cercano" (la geometría), pero "subespacio" (álgebra).
El ejemplo más simple de esto es probablemente en $C^1$ frente al $R^2$: La proyección de $x=a+bi$ en el lapso de $1$ $x$ sí. Pero la proyección de $(a,b)$ en el lapso de $(1,0)$$(a,0)$. En ambos casos, usted tiene el punto más cercano; lo que ha cambiado es el subespacio más que el concepto de distancia.
