Cambiar infinitesimalmente un operador en QM

Question

Leyendo a Balian, "De la microfísica a la macrofísica", he encontrado la siguiente identidad: Si cambiamos el operador $\hat{{\mathbf{X}}}$ infinitesimalmente por $\hat{{\delta\mathbf{X}}}$ la traza de una función operativa $f(\hat{{\mathbf{X}}})$ se puede diferenciar como si $\hat{{\mathbf{X}}}$ y $\delta\hat{{\mathbf{X}}}$ comutado:

$$\delta\operatorname{Tr}f(\hat{{\mathbf{X}}})=\operatorname{Tr}\left(\delta \hat{{\mathbf{X}}}f'(\hat{{\mathbf{X}}})\right).$$

¿Qué significa "cambiar un operador por $\delta \hat{{\mathbf{X}}}$ ¿"Significa matemáticamente" en este contexto? ¿Cómo puedo demostrar esa identidad?

Answer 1

Consideremos una familia de operadores de un parámetro $X + \epsilon Y$ y que $f$ sea una función analítica. Entonces utilizamos formalmente la linealidad de la traza para obtener \begin {align} \mathrm {tr}[f(X + \epsilon Y)] = \mathrm {tr} \left [ \sum_ {n=0}^ \infty c_n(X+ \epsilon Y)^n \right ] = \sum_ {n=0}^ \infty c_n \mathrm {tr}[(X+ \epsilon Y)^n] \end {align} Pero fíjate que \begin {align} (X+ \epsilon Y)^n = X^n + \epsilon (YX^{n-1} + XYX^{n-2} + \cdots + X^{n-1}Y) + O( \epsilon ^2) \end {align} por lo que por la ciclicidad y linealidad de la traza tenemos \begin {align} \mathrm {tr}[(X+ \epsilon Y)^n] = \mathrm {tr}(X^n) + n \cdot\mathrm {tr}( \epsilon YX^{n-1}) + O( \epsilon ^2) \end {align} Introduciendo esto en la serie de potencias para $\mathrm{tr}[f(X+\epsilon Y)]$ da \begin {align} \mathrm {tr}[f(X+ \epsilon Y)] &= \sum_ {n=0}^ \infty c_n \mathrm {tr}(X^n) + \sum_ {n=0}^ \infty c_n n\\Nde, \mathrm {tr}( \epsilon Y X^{n-1}) + O( \epsilon ^2) \\ &= \sum_ {n=0}^ \infty c_n \mathrm {tr}(X^n) + \epsilon\cdot\mathrm {tr} \left (Y \cdot \sum_ {n=0}^ \infty c_n n\, X^{n-1} \right ) + O( \epsilon ^2) \\ &= \sum_ {n=0}^ \infty c_n \mathrm {tr}(X^n) + \epsilon\cdot\mathrm {tr} \left (Y f'(X) \right ) + O( \epsilon ^2) \end {align} Se deduce que \begin {align} \frac {d}{d \epsilon } \bigg |_{ \epsilon = 0} \mathrm {tr}[f(X+ \epsilon Y)] = \mathrm {tr} \left (Y f'(X) \right ) \end {align} Ahora sólo hay que hacer las identificaciones notacionales $Y = \delta X$ y \begin {align} \frac {d}{d \epsilon } \bigg |_{ \epsilon = 0} \mathrm {tr}[f(X+ \epsilon Y)] = \delta \,\mathrm {tr}[f(X)] \end {align} y, el resultado deseado es ahora inmediato.

Answer 2

$f(\hat{X})$ normalmente "significa" $\sum a_n \hat{X}^n$ . Así que, gran pista: Deja que $y$ sea su infinitesimal y que $\hat{Y}$ sea algún operador. \begin {align*} & \mathrm {Tr}f( \hat {X}+y \hat {Y})- \mathrm {Tr}f( \hat {X})= \\ & \int \langle q| \sum a_n ( \hat {X}+y \hat {Y})^n|q \rangle \mathrm {d}q- \int \langle q| \sum a_n \hat {X}|q \rangle \mathrm {d}q \end {align*}

ampliar ignorando los poderes superiores de $y$ ( $(\hat{X}+y \hat{Y})^n\approx \hat{X}^n+n y \hat{Y}\hat{X}^{n-1}$ no es cierto, pero se utiliza la ciclicidad del trazado para hacer lo mismo)

obviamente hay grandes problemas matemáticos aquí (con la integral de una suma infinita) pero esos deben ser ignorados :)