En la distribución de Boltzmann, ¿por qué el sistema está a la misma temperatura que el depósito?

Question

Consideremos una distribución de Boltzmann donde la energía total del depósito y del sistema es $E$ . La energía del sistema puede ser $\epsilon_i$ y la energía del depósito es $E-\epsilon_i$ .

Ahora bien, si el sistema puede tomar diferentes energías de $\epsilon_i$ ¿Por qué se puede decir que el sistema está en equilibrio con el depósito y tiene una temperatura fija? $T$ que es el mismo que el del embalse?

En un segundo el sistema puede tener energía $\epsilon_1$ y en el siguiente segundo el sistema puede tener energía $\epsilon_2$ con buenas probabilidades de que ocurra. Por tanto, existe un flujo neto de energía entre el sistema y el depósito. ¿Cómo se puede decir entonces que el sistema y el depósito están en equilibrio y tienen la misma temperatura?

Answer 1

Se considera que el depósito es lo suficientemente grande como para proporcionar al sistema una distribución de probabilidad muy bien definida para su energía $\epsilon_i$ . Para los teóricos, esto significa, por supuesto, que el depósito es en realidad infinitamente grande.

Se dice que un sistema está en equilibrio térmico con el depósito si su energía obedece a la distribución de probabilidad esperada proporcionada por el depósito de calor. Esto significa que hay que medir la energía del sistema a lo largo de un período de tiempo más largo, ya que se está considerando la distribución de probabilidad de la energía, no el valor de la energía en un solo instante. Si el sistema no está en equilibrio térmico con el baño, la distribución de energías será muy diferente a la esperada. Por ejemplo, si el sistema está inicialmente más frío que el depósito, su energía será menor de lo esperado hasta que el sistema se haya equilibrado.

Answer 2

Consideremos un sistema pequeño en contacto térmico con un sistema grande que tiene frío $\beta$ . Para simplificar, el sistema pequeño sólo tiene un estado por nivel de energía. Podría ser un oscilador armónico con una pequeña energía cuántica. El sistema grande tiene una multiplicidad $\Omega_0$ cuando el pequeño sistema está en su estado básico.

Cuando el sistema pequeño absorbe un quantum de energía, la multiplicidad del sistema grande disminuye, pero su $\beta$ sigue siendo el mismo. Se trata de un depósito de calor, ya sea porque es grande o porque, por ejemplo, se está derritiendo el hielo en el agua. Esto significa que el siguiente cuanto cambiará la multiplicidad del depósito con la misma cantidad fraccionaria. Esto da lugar a una exponencial negativa para la multiplicidad del depósito de calor en función de la cantidad de energía en el sistema pequeño. Dado que el sistema pequeño sólo tiene un estado por energía, esto significa que la multiplicidad y la probabilidad de encontrar el sistema total en un estado en el que el sistema pequeño tiene una energía $E$ es un exponencial negativo de $E$ .

Matemáticamente, se puede empezar este razonamiento con la definición de la beta termodinámica: $$\beta = \Omega^{-1}\ \frac{{\rm d}\Omega}{{\rm d}E}.$$

Se puede reescribir como una ecuación diferencial:

$$\frac{{\rm d}}{{\rm d}E} \Omega = - \beta \Omega,$$ donde el signo menos es una consecuencia de la energía $E$ del sistema pequeño se toma del depósito de calor. Esto tiene la solución $$ \Omega = \Omega_0 e^{-\beta E}.$$ La probabilidad de encontrar el sistema pequeño en un estado con energía $E$ es por lo tanto $$ P(E) \propto e^{-\beta E}.$$ Este es el factor Boltzmann. Esta derivación se basa en que el pequeño oscilador es distinguible, por eso da la función de distribución clásica.