¿Qué funciones pueden ser aproximadas por las funciones continuas de Hölder de manera "limitada"?

Question

Estoy interesado en el espacio de las funciones de $f: \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}$ que satisface la siguiente propiedad:

Existe una secuencia $(\alpha_n)_{n \in \mathbb{N}} \subseteq (0,1]$ y las funciones de $f_n$ cuales son Hölder continua con Hölder exponente $\alpha_n$ tal que $$f_n(x) \xrightarrow[]{n \to \infty} f(x) \quad \text{for (Lebesgue)almost all $x \in \mathbb{R}^d$} \tag{1}$$ and $$\sup_{n \geq 1} \|f_n\|_{\alpha_n} < \infty. \tag{2}$$

Aquí, $\|\cdot\|_{\alpha}$ indica el $\alpha$-Hölder norma, es decir, $$\|g\|_{\alpha} := \sup_x |g(x)| + \sup_{x \neq y} \frac{|g(x)-g(y)|}{|x-y|^{\alpha}}.$$

Edit: tenga en cuenta que $\alpha_n$ podría tender a $0$, y por lo tanto $(2)$ sí no implica la $$\sup_{n \geq 1} \|f_n\|_{\alpha} < \infty$$ for some $\alfa>0$.

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Obviamente, cualquier función de $f$ que es Hölder continua tiene la anterior propiedad. Las cosas interesantes que suceda si $\alpha_n \to 0$$n \to \infty$. Por ejemplo, hay funciones discontinuas que puede ser aproximada en el anterior sentido; por ejemplo, la función de Heaviside

$$f(x) = 1_{(0,\infty)}(x)$$

se puede aproximar por

$$f_n(x) := 1_{(0,\infty)}(x) \cdot \min\{|x|^{1/n},1\}.$$

Soy consciente del hecho de que las funciones de Sobolev se puede aproximar por Hölder continua de las asignaciones, pero los resultados, que yo sepa, no proporcionan un uniforme enlazado $(2)$.

Me pregunto cómo "grande" lo anterior se define el espacio de las funciones, es decir que se conoce la función de los espacios (no) contenida en él. Yo sería muy feliz acerca de las referencias y sus pensamientos sobre el problema.

Answer 1

Edit: En primer lugar he leído la pregunta equivocada, suponiendo que $||f_n||_\alpha$ iba a ser limitada, no sólo a $||f_n||_{\alpha_n}$. Primero un comentario en el problema real (no se a ciencia cierta si se trata de una solución a lo que el OP tiene realmente en cuenta porque no me queda claro en un cierto cuantificador, entonces la respuesta original, para el caso de $\alpha_n=\alpha$.

La condición de "$||f_n||_{\alpha_n}$ limitada" parece un poco curioso. Por ejemplo:

Curioso Lema: Supongamos que $||f||_\infty\le 1$ y no existe $c$ tal que $|f(x)-f(y)|\le c|x-y|$. Entonces existe $\alpha>0$$||f||_\alpha\le 4$.

Prueba: Elija $\alpha\in(0,1)$, de modo que $2c^\alpha<3$. Si $|x-y|>1/c$ $$\frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|^\alpha}\le\frac2{c^{-\alpha}}\le3.$$On the other hand if $|x-y|<1/c$ entonces $$\frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|^\alpha}\le\frac{c|x-y|}{|x-y|^\alpha} =c|x-y|^{1-\alpha}\le c^{\alpha}\le 3.$$

Que realmente parece que no puede ser a la derecha. Pero no veo el error. Si somos cuidadosos podemos señalar que en el primer caso $\alpha>0$ implica $|x-y|^\alpha>(1/c)^\alpha$, mientras que en el segundo caso $1-\alpha>0$ implica $|x-y|^{1-\alpha}<(1/c)^{1-\alpha}$.

Curioso Corolario. Si $f$ es medible y $||f||_\infty\le1$ entonces no existe $f_n$ $\alpha_n>0$ tal que $f_n\to f$ en casi todas partes y $||f_n||_{\alpha_n}\le 4$.

(Por supuesto, lo contrario es trivial, ya que $||f_n||_\infty\le||f_n||_{\alpha_n}$.)

Prueba. Deje $\phi_n\in C^\infty_c(\mathbb R)$ ser un aproximado de identidad, con $\phi_n\ge0$ $\int\phi_n=1$ como de costumbre. Deje $f_n=\phi_n*f$. A continuación, $f_n\to f$ en casi todas partes. También se $||f_n||_\infty\le||f||_\infty||\phi_n||_{L^1}\le 1$ e $||f_n'||_\infty \le||f_n||_\infty||\phi_n'||_{L^1}<\infty$. Curiously, the size of $||f_n'||_\infty$ doesn't matter, the lemma gives our $\alpha_n$.

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Original, asumiendo $\alpha_n=\alpha$:

Fácil Teorema $f$ se puede aproximar en este sentido si y sólo si existe un Titular de los continuos $g$ $f=g$ en casi todas partes.

Para los no completamente trivial dirección: Supongamos que $f_n\to f$ en casi todas partes y $||f_n||_\alpha$ está acotada. Arzela-Ascoli muestra que algunos subsequence converge uniformemente en compactos de conjuntos de a $g$. Por lo $g$ es Titular de la continua e $f=g$ en casi todas partes.

(O sin Arzela-Ascoli: Decir $E$ es un conjunto de medida total y $f_n\to f$ pointwise en $E$. A continuación, $f|_E$ satisface una condición de Titular. Por lo tanto $f|_E$ es uniformemente continua; desde $E$ es denso $f|_E$ tiene un único extensiion a una función continua $g:\mathbb R^n\to\mathbb R$, que también es Titular de continuo.)

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Pensamientos Cuando la gente habla de $f$ siendo un límite de funciones con algún tipo de uniforme de la propiedad de suavizar el punto es general, para ver qué tipo de suavidad que esto implica sobre la $f$; la Fácil Teorema es un ejemplo típico. Tan típico que cuando leí por primera vez la pregunta que supuse que estaba preguntando acerca de la Fácil Teorema.

Luego, cuando vi la pregunta era en realidad acerca de $||f_n||_{\alpha_n}=O(1)$ se parecía un poco a pescado; que realmente no parecer un "uniforme" suavidad condición. Y, por supuesto, la Curiosidad Corolario muestra que $||f_n||_{\alpha_N}=O(1)$ no da más suavidad de la que acaba de $||f_n||_\infty=O(1)$.

De todos modos, el punto a esta sección es para sugerir que si uno está interesado en lo que la suavidad en $f$ sigue de límites en $||f_n||_{\alpha_n}$ uno podría obtener resultados más interesantes desde suponiendo que $||f_n||_{\alpha_n}\to0$ a un cierto ritmo, dependiendo de la $(\alpha_n)$.

Excepto, por supuesto, eso no es a lo que me refiero; es claro a partir de la definición de que la si $||f_n||_{\alpha_n}\to0$$f=0$. Definimos $||f||_\alpha$ la manera que lo hizo sólo porque es bueno tener una norma. En lugar de definir un seminorm $$\rho_\alpha(f)=\sup_{x\ne y}\frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|^\alpha}.$$

Entonces a mí me parece que si uno está interesado en todo esto uno podría querer considerar cómo liso $f$ debe ser si $||f_n||_\infty=O(1)$ y $$\rho_{\alpha_n}(f_n)\le ch(\alpha_n)$$for some function $h$ with $h(\alpha)\to0$. For example $h(\alpha)=\alpha^\beta$ viene a la mente...

Answer 2

Pero, ¿no lo hace$\alpha_n\to 0$? También diría que cualquier$f$ delimitado se puede aproximar de esta manera.

1)$f$ delimitado (por ejemplo,$|f|\le C$) puede aproximarse ae por funciones continuas$f_n(x)$ (con$|f_n|\le C$).

2)$f_{n,L}(x):=\min_y f_n(y)+L|x-y|$ es una aproximación de$L$ - Lipschitz de$f_n$ (con$f_{n,L}\to f_n$ uniformemente como$L\to\infty$ y$|f_{n,L}|\le C$).

3) uno tiene$$ \frac{|f_{n,L}(x)-f_{n,L}(y)|}{|x-y|^\alpha} \le \min\Big\{ L|x-y|^{1-\alpha}, \frac{2C}{|x-y|^\alpha}\Big\}. $ $ Esto es máximo para$|x-y|=2C/L$, con valor$2C(L/(2C))^\alpha$. Al elegir$\alpha= \log 2/(\log(L/(2C))$ (que va a$0$ como$L\to\infty$) se obtiene el valor$4C$.