Cuantificador: "Para todos los conjuntos"

Question

He visto la siguiente declaración de un par de veces:

"Vamos a $A$ ser un conjunto,$\emptyset\subseteq A$".

O, por escrito 'formalmente': $$ \forall\,\, \emptyset\subseteq Un $$

Mi duda es: yo siempre he visto el cuantificador $\forall x$ a significar "para todos los $x$ elementos de un conjunto $S$". Sin embargo, cuando se habla de todos los conjuntos que, ¿cómo podemos definir esta cuantificación?

Answer 1

Es sólo una desenfrenada cuantificador, no se limita a los elementos de un conjunto fijo $S$. Este es el caso normal; la limitada cuantificadores, restringida a los miembros de un conjunto, se definen en términos de los cuantificadores básicos, $\forall x$$\exists x$.

$\forall x$ significa que: para todos los $x$, nada de lo $x$. En la matemática del universo, $x$ rangos de conjuntos, y no, digamos, la gente, los átomos, las naranjas, etc. A menos que algunos de los convenios en vigor de restricción de $x$ a un rango de más de, por ejemplo, sólo reales, $\forall x$ significa "para todos los conjuntos de $x$". Para decir "para todos los $x$ $S$" que han obligado a la cuantificador, como en "$\forall x\in S$". Sin embargo, delimitada cuantificadores son un atajo, que se define en términos de la básica sin límites cuantificadores: $$\begin{align} \exists x\in S\,P(x) &\stackrel{def}\iff \exists x\,(x\in S \land P(x)) \\ \forall x\in S\,P(x) &\stackrel{def}\iff \forall x\,(x\in S \to P(x)). \\ \end{align}$$

Answer 2

A partir de la ZFC perspectiva, no hay nada especial que está ocurriendo aquí. En ZFC, todo es un conjunto, y la cuantificación universal es siempre considerado como la cuantificación sobre todo el mundo de conjuntos (la "jerarquía acumulativa"). Así la sentencia de $\forall x P(x)$ siempre significa "para todos los conjuntos $x$, $P(x)$." Por convención, la notación $\forall x \in X, P(x)$ es visto como una forma abreviada conveniente para el más engorroso $\forall x(x \in X \rightarrow P(x)).$

Por otro lado, desde el tipo de la teoría de la perspectiva, este es un ejemplo de "cuantificación sobre las variables de tipo," y por lo general es tratado por separado ordinaria de cuantificación. Yo sugiero utilizar Google para aprender más.

Answer 3

En muchos teóricos universos, uno se ocupa de la situación en la que todos los objetos (tratado por la teoría) son hereditarios conjuntos. Es decir, cada elemento de un conjunto es, en sí, un conjunto. Así, al hacer un conjunto teórico declaración en tal caso, $\forall x$ significa "para todos los conjuntos de $x$" (ya que no estamos hablando de algo que no es un conjunto).

En algunos casos, sin embargo, hay una serie de elementos que no son conjuntos. Tales objetos son a veces llamadas "átomos" o "ur-elementos". Si estamos tratando con un teórico del reino, $\forall x$ significa que (por ejemplo) "para todos los conjuntos o los átomos de $x,$" en su lugar.

En general, una exploración teórica se limita a un determinado universo de discurso, en el que caso de $\forall x$ va a significar algo para el efecto de "para todos los $x$ abordados por la teoría en discusión".

Answer 4

No hay nada de malo con su declaración de que, a pesar de que me gustaría insertar algunos de los signos de puntuación:

$\forall A: \emptyset \subset A$

o

$\forall A (\emptyset \subset A)$

En el álgebra y el análisis, la variable cuantificada puede ser un marcador de posición arbitraria, un elemento de un conjunto, un conjunto o una función.

Si el universalmente cuantificado variable es un elemento $x$ de un conjunto $S$, entonces el cuantificador puede ser escrita como:

$\forall x \in S:\space \cdots$

o como

$\forall x:[x\in S \implies\cdots$

Del mismo modo, si el universalmente cuantificado variable es un subconjunto $x$$S$, entonces el cuantificador puede ser escrita como:

$\forall x \subset S:\space\cdots$

o como

$\forall x:[x\subset S \implies\cdots$

Si el existencialmente cuantificada variable es un elemento $x$ de un conjunto $S$, entonces el cuantificador puede ser escrito como

$\exists x\in S:\space\cdots$

o como

$\exists x: [x\in S \land \cdots$

Answer 5

Sin restricción $\forall A$ realidad significa "para todos los $A$", mientras que con la restricción como $\forall A\in B$ que significa "para todos los $A$ que es un miembro de $B$".

La única contra intuitivo cosa aquí es que en conjunto formal de la teoría es que todo es un conjunto (es decir,$\forall A: A\mbox{ is a set}$).

Otra cosa a saber es que el inicial, el cuantificador universal normalmente se omite y sólo las restricciones sobre las variables que se mencionan. Esto es útil si no te gusta formal de la teoría de conjuntos y no aceptar que todo es un conjunto. Esta puede escribir sólo "si $A$ es un conjunto, entonces $\emptyset\subseteq A$". Si se acepta que todo es un conjunto que ya ha aceptado la premisa, y que incluso podría ser formalmente por escrito tan compacto como el $\emptyset\subseteq A$.