Prima de Mersenne: ¿por qué son equivalentes estas dos definiciones?

Question

Selon Wikipedia :

Si $n$ es un número compuesto, entonces también lo es $2^n 1$ . ( $2^{ab} 1$ es divisible por ambos $2^a 1$ y $2^b 1$ .) Esta definición es, por tanto, equivalente a una definición como número primo de la forma $M_p = 2^p 1$ para algún primo $p$ .

Me pregunto por qué la definición es equivalente. Si $p$ es primo, no significa necesariamente que $2^p-1$ es primordial, por supuesto. Sin embargo, a mi entender, significa que por el contrapositivo, si $2^n-1$ es primo, entonces $n$ es primordial, pero eso no ayuda mucho. Entonces, ¿qué significa exactamente la segunda frase?

Answer 1

No está claro en su extracto qué definiciones se cuentan como equivalentes. Parece que:

Un primo de Mersenne es un primo de la forma $2^n-1$

y

Un primo de Mersenne es un primo de la forma $2^p-1$ con $p$ prime

Y el hecho de que si $n$ es compuesto, también lo es $2^n-1$ significa que estos definen el mismo conjunto de primos.

Answer 2

La afirmación es que los dos siguientes son equivalentes para cada uno $N$ :

1. $N$ es un primo y $N$ puede escribirse como $N=2^n-1$ donde $n$ es un número natural.
2. $N$ es un primo y $N$ puede escribirse como $N=2^p-1$ donde $p$ es un primo.

Además, dicen que como son equivalentes, ambas pueden utilizarse como definición de un El primo de Mersenne .

Prueba de que son equivalentes:

• Prueba de que 2 implica 1: Supongamos que 2 es cierto. Sólo hay que poner $n=p$ en 1. Hecho.
• Prueba de que 1 implica 2: Supongamos que 1 es cierto. $N=2^n-1$ es un primo, por lo que $n$ no puede ser compuesto (como se muestra en su cita). Así que $n$ es un primo. Así que $N$ puede escribirse como $2^p-1$ donde $p$ es un primo. Así que el 2 es verdadero.

Answer 3

Como se ha dicho, un primo de Mersenne es un número de Mersenne, es decir, un número de la forma $$M_n=2^n-1$$ que a su vez es primo. Así, para que $M_n$ para ser primo, $n$ también debe ser primo. Esto se deduce, ya que para cualquier compuesto $n$ con factores $a$ y $b$ , $n=ab$ .

Así, $2^n-1$ puede escribirse como $2^{ab}-1$ que es un número binomial que siempre tiene un factor $(2^a-1)$ .

Answer 4

Creo que el párrafo trata de decir lo siguiente para $M_n$

$$ n \textrm{ composite} \Rightarrow M_n \textrm{ composite} $$ equivale a $$ M_n \neg \textrm{ composite} \Rightarrow n \neg \textrm{ composite} $$ Es decir, equivale a $$ M_n \textrm{ prime} \Rightarrow n \textrm{ prime} $$